《三垂线定理一.docVIP

三垂线定理（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1 2．三垂线定理及其逆定理的简单应用． （二）能力训练点 1 2．由线面垂直证明线线垂直的方法（线面垂直法）； 3．训练学生分清三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系； 4．善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题． （三）德育渗透点 通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1 （1 （2 2．教学难点：两个定理的证明及应用． 3．教学疑点及解决方法 （1 （2 （3a垂直于射影AO的条件，然后得到a垂直于斜线PO的结论；而其逆定理则是已知直线a垂直于斜线PO，再推出a垂直于射影AO．在引用时容易引起混淆，解决的办法是，构造一个同时使用这两个定理的问题，引导学生分清． （4 三、课时安排 本课题共安排2 四、学生活动设计 三垂线定理及其逆定理的条件和结论都比较简单，但应用却很广泛，为了培养学生的能力，应让学生探索定理的命题形式，充分利用好手中的三根竹签． 设计学生活动符合建构主义的教学思想，也符合教师为主导、学生为主体的教学思想；教师根据教学要求，提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，主动发现，主动发展，从而调动了学生学习的积极性． 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 师：我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾： 1 2．直线和平面垂直的判定定理． 3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？ 4．已知平面α和斜线l，如何作出l在平面α上的射影？ （板书）lA，作出l在平面α上的射影 （二）猜想推测，激发兴趣 师：根据直线与平面垂直的定义我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直，那么，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？ （教师演示教具，用一个三角板的一条直角边当平面的斜线，一根包有色纸的竹竿摆放在桌面的不同位置当作平面内的不同直线，学生容易看出它们不一定互相垂直．） 师：是否平面内的任意一条直线都不和这条平面的斜线垂直呢？ （教师将三角板的另一条直角边平放在桌面上，并提示学生注意这条直角边与平面的关系——在平面上，与斜线的关系——垂直．） 师：在平面上有几条直线和这条斜线垂直？ （学生可能会回答一条，也可能回答无数条，教师应调整桌面上的竹竿位置，使其平行于三角板的直角边，然后平行移动，并向学生说明，这些直线都与斜线垂直．） 师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直？ （学生的直觉判断是要与那条和桌面接触的直角边平行，这是正确的，但无多大用途；这时教师提醒学生注意斜线在平面内的射影，并调整教具，将三角板的斜边当作平面的斜线，构成垂线、斜线和射影的立体模型；要求学生与同桌配合，摆放课前准备的竹签成教师示范的模型；然后在教师的引导之下观察、猜想，与同桌的探讨中发现了只要与斜线的射影垂直就和斜线垂直．） （三）层层推进，证明定理 师：猜测和实验的结论不一定正确，那么你想怎样证明这个猜想呢？ （若用幻灯或投影仪，可以节省板书时间．） 已知：PAPO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α 求证：aPO． 师：这是证明两条直线互相垂直的问题，你准备怎么证明？ 分析：从直线和平面垂直的定义可知，要证两条直线互相垂直，只要证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可． 师：这个平面你找到了吗？ 生：是平面PAO 师：怎样证明aPAO呢？ 生：只要证明aPAO内的两条相交直线． 证明： 说明： 1 2．上述命题反映了平面内的直线、平面的斜线和斜线在平面内的射影这三条直线之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 3．改变定理的题设和结论，得到逆命题：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理（请学生简要说明其证明方法和步骤）． 4．定理中包含了三个垂直关系：PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a， 看出三垂线定理名称的来由． 5a与斜线或斜线的射影的位置关系关键在于垂直；这样直线a的如下四种位置关系，都是三垂线定理及其逆定理常见的情形． 6．从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线垂直的重要命题． （四）初步运用，提高能力 11．） 已知：点OABC的垂心，OP⊥平面ABC． 求证：PABC． （学生先思考，教师作如下点拨） （1 （2O是△ABC的垂心可以得到什么结论？ （3 生：首先先确定一个平面——平面ABCPA，PA在平面ABC上的射影是AD，∵AD垂直于BC，∴PA⊥BC． 师：他的回答是否有缺漏？ 生：应该交代BCABC上的一条直线． 师：对，这个交代是必需