《三角函数公式推导大全.doc

三角函数公式推导及应用 两角和的正弦与余弦公式： （1）???????sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ； （2）???????cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； 教材的思路是在直角坐标系的单位圆中， 根据两点间的距离公式推导： cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；? 再用诱导公式证明：?sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ； 如图所示：AOD=α，BOD=-β，AOC=β，DOC=β+α。 则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；C[cos（α+β），sin（α+β）]。 ??OA=OB=OC=OD=1 ∴??CD=AB。 ??CD2=[cos（α+β）-1]?2+[?sin（α+β）-0]?2； ???????=cos2（α+β）-?2cos（α+β）+1?+?sin2（α+β）； ???????=2-2?cos（α+β）。 ???AB2=（cosα-cosβ）2+?（sinα+sinβ）2； ??????=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+?sin2β； ??????=2-2[cosαcosβ-?sinαsinβ]。 ???2-2?cos（α+β）=2-2[cosαcosβ-?sinαsinβ]。 ???cos（α+β）=cosαcosβ-?sinαsinβ? ???sin（α+β）=?cos（90°-α-β） ????????????????=cos[（90°-α）+（-β）] ????????????????=cos（90°-α）cos（-β）-?sin（90°-α）sin（-β） ????????????????=sinαcosβ+cosαsinβ 又tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) = （sinα·cosβ-cosα·sinβ）/（cosα·cosβ+sinα·sinβ） 同除cosα·cosβ,得tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 同理，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) 指三角函数中的一组恒等式 以上公式可用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到，以下用和角公式证明之。 证明：由和角公式有， 两式相加、减便可得到上面的公式（1）、（2），同理可证明公式（3）、（4）。 ?（附证明) cotα±cotβ=sin（β±α）/(sinα·sinβ） tanα+cotβ=cos（α-β）/(cosα·sinβ） tanα-cotβ=-cos（α+β）/(cosα·sinβ）【注意右式前的负号】 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ）/(cosα·cosβ） =sin（α±β）/(cosα·cosβ）=右边 等式成立 编辑 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然 生动的口诀：（和差化积） 帅+帅=帅哥[1]? 帅-帅=哥帅 哥+哥=哥哥 哥-哥=负嫂嫂 反之亦然 语文老师教的口诀： 口口之和仍口口 cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 赛赛之和赛口留 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 口口之差负赛赛 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 赛赛之差口赛收 sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 另一口诀： 正和正在先，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 正差正后迁，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 余和一色余，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 余差翻了天，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 另另一种口诀（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式） ： 正弦加正弦，正弦在前面，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 正弦减正弦，余弦在前面，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 余弦加余弦，余弦全部见，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 余弦减余弦，余弦（负）不想见，cosα-cosβ=-2sin[(α+