《三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方1.docVIP

三角形中位线定理的证明及其教学说明 以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师 一、 三角形中位线定理的证明DE至F，使 ，连结CF，则 ，有AD FC，所以FC BD，则四边形BCFD是平行四边形，DF BC。因为 ，所以DE ． 法2：如图所示，过C作 交DE的延长线于F，则 ，有FC AD，那么FC BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF BC。因为 ，所以DE ． ??? 法3：如图所示，延长DE至F，使 ，连接CF、DC、AF，则四边形ADCF为平行四边形，有AD CF，所以FC BD，那么四边形BCFD为平行四边形，DF BC。因为 ，所以DE ． 法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN，DE∥BC，即DE。 法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线． 二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，、分别是AB、AC的中点，线段与BC有什么关系？ 图⑴?⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?  图⑵说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长第二，要知道中位线定理的使用形式，如： ∵ DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC， 第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。 题1 如图4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E分别为AB，BC的中点，点F在CA延长线上，∠FDA＝∠B. (1)求证：AF＝DE；(2)若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长. 分析 本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。 (1)要证AF＝DE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线，所以DE∥AC.又题给条件∠FDA＝∠B，而在Rt△ABC中，因AE是斜边上的中线，故AE＝EB.从而∠EAB＝∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到AE∥DF.所以四边形为平行四边形. (2)要求四边形AEDF的周长，关键在于求AE和DE，AE＝BC＝5，DE＝AC＝3. 证明：(1)∵D、E分别为AB、BC的中点， ∴DE∥AC即DE∥AF ∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BE＝EC ∴EA＝EB＝BC，∠EAB＝∠B 又∵∠FDA＝∠B， ∴∠EAB＝∠FDA ∴EA∥DF，AEDF为平行四边形 ∴AF＝DE (2)∵AC＝6，BC＝10， ∴DE＝AC＝3，AE＝BC＝5 ∴四边形AEDF的周长＝2(AE+DE)＝2(3+5)＝16 ? 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，延长BA和CD分别与EF的延长线交于K、H求证：∠BKE＝∠CHE. 分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证明的角转移过来，可考虑，连BD，找BD中点G，则EG、FG分别为△BCD、△DBA的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比作平行线好. 证明：连BD并取BD的中点G，连FG、GE 在△DAB和△BCD中 ∵F是AD的中点，E是BC的中点 ∴FG∥AB且FG＝ABEG∥DC且EG＝DC ∴∠BKE＝∠GFE∠CHE＝∠GEF ∵AB＝CD ∴FG＝EG ∴∠GFE＝∠GEF ∴∠BKE＝∠CHE ? 如图 ABCD为等腰梯形，AB∥CD，O为AC、BD的交点，P、R、Q分别为AO、DO、BC的中点，∠AOB＝60°求证：△PQR为等边三角形. 分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边中线定理利用条件可知PR＝AD，能否把PQ、RQ与AD(BC)联系起来成为解题的关键，由于∠AOB＝60°，OD＝OC，则△O