《两角和与差的正弦、余弦和正切.docVIP

第5讲　两角和与差的正弦、余弦和正切 [考纲] 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(αβ)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝. 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)． (2)cos2α＝，sin2α＝. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin. 4．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 辨 析 感 悟 1．对两角和与差的三角函数公式的理解 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． () (2)存在实数α，β，使等式cos(α＋β)＝cos α＋cos β.( ) (3)(教材练习改编)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝. ( ) (4)(教材习题改编)＝tan. () (5)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)＝－3. () 2．对二倍角公式的理解 (6)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2. ( ) (7)若sin ＝，则cos α＝－. ( ) (8)y＝sin 2xcos 2x的最大值为1. ( ) (9)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α＝. ( ) [感悟·提升] 一个防范　运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用. 考点一　三角函数式的化简、求值问题【例1】 (1)4cos 50°－tan 40°＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. B. C. D．2－1 (2)＝________. 规律方法 (1)技巧：寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； 正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等． (2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． 【训练1】 (1)化简：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________. (2)化简：(0θπ)＝____； 考点二　三角函数的给角求值与给值求角问题【例2】 (1)已知0βαπ，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值． 规律方法 (1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可． (2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 【训练2】 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0βα， (1)求tan 2α的值； (2)求β. 考点三　三角变换的简单应用【例3】 已知f(x)＝sin2x－2sin·sin. (1)若tan α＝2，求f(α)的值； (2)若x，求f(x)的取值范围． 规律方法 (1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2α，cos 2α化为关于正切tan α的关系式，为第(1)问铺平道路． (2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性． 【训练3】 已知函数f(x)＝4cos x·sin－1. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆