《二次根式学习要点精析.docVIP

二次根式的概念学习要点 二次根式是一种特殊的代数式，它在实际生活以及其它科学技术中都有着广泛的应用，为了帮助同学们学好这一知识点，现提醒同学们学习时应注意领会以下几个要点： 一、正确理解二次根式的定义 同学们已经接触到的象、、…、（a≥0）等式子，这些式子是什么样的一个式子呢？我们把式子（a≥0）叫做二次根式.由此，对于（a≥0）的讨论应注意下面的问题： （1）式子只有在条件a≥0时才叫二次根式.而式子就不是二次根式，但式子却又是二次根式. （2）（a≥0）实际上就是非负数a的算术平方根. （3）是二次根式，虽然＝3，但3不是二次根式.因此二次根式指的是某种式子的“外部形态”.如，当a为实数时， 、、、都是二次根式，而、都不一定是二次根式.这是因为a是实数时，并不能保证a+10、a2－1是非负数，即a+10、a2－1可以是负数，如当a＜－10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，、不一定是二次根式. 二、能运用二次根式的定义确定有关二次根式的字母取值范围 由于式子（a≥0）叫做二次根式，它实际上是一个非负的实数的算术平方根的表达式.所以式子中的被开方数或被开方式必须大于或等于零，即式子是一个非负数. 如，当x≥3时，式子在实数范围内有意义.这是因为由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3时，式子在实数范围内有意义.这类问题实质上是当x是什么数时，x－3是非负数，式子有意义. 三、能运用二次根式的定义解题 我们知道，二次根式的结果是一个非负数，在初中阶段，常见的非负数有三个：a2≥0，≥0，≥0.利用“几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零”的性质解题，在各类考试中屡见不鲜. 例1　已知y＝++6，则＝ . 简析　根据二次根式的被开方数是一个非负数，可得3－x≥0且x－3≥0，即x≤3且x≥3，所以x只能等于3，所以y＝6.故＝＝2. 例2　已知+y2+4y+4+＝0，求的值. 简析　本题可变形为+(y+2)2+＝0，因为是三个非负数的和为0，所以x－3＝0，y+2＝0，z－1＝0，即x＝3，y＝－2，z＝1，故＝＝3. 下面两道题目供同学们自己练习： 1、已知实数a满足+＝a，求a－20072的值. 2、设等式+＝－在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值. 3、若实数x、y、a满足+＝+，试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由. 　　 参考答案 1，由a－2008≥0，得a≥2008.故已知式可化为a－2007+＝a，所以＝2007，两边平方并整理，得a－20072＝2008. 2，由a(x－a)≥0及x－a≥0得a≥0；由a(y－a)≥0及a－y≥0得a≤0，故a＝0，从而已知式化为＝，x＝－y≠0，故原式＝＝. 3，由x+y－8≥0，8－x－y≥0，得x+y≥8，x+y≤8.所以8≤x+y≤8，x+y＝8.这时，已知等式即为+＝0.因为≥0，≥0， 所以＝0，＝0.从而3x－y－a＝0，x－2y+a+3＝0.这两个等式相加，得4x－3y＝－3.联立x+y＝8和4x－3y＝－3，得解得这时a＝3x－y＝4.因为x、y、a中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个三角形.因为x2+a2＝y2，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6. 二次根式的乘除法学习要点 二次根式的乘法和除法学习二次根式加减的基础.那么如何才能熟练掌握二次根式乘除法的运算呢？笔者以为应注意掌握以下几个问题： 一、正确理解二次根式乘法的意义 由于×＝＝＝3，×＝＝＝4，所以，一般地，×＝(a≥0，b≥0).观察这一式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积仍是二次根式.由此二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数. 利用二次根式乘法的这个法则应注意：（1）要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立.（2）从运算顺序看，等号左边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根.（3）公式×＝(a≥0，b≥0)可以推广到三个二次根式、四个二次根式等相乘的情况.（4）根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内. 例1　计算：（1）－×；（2）×； （3）×；（4）×. 分析　利用二次根式的乘法法则，对于第（3）小题，应视x+2y为一个整体. 解　（1）－×＝－＝＝6； （2）×＝＝＝3；