《中心极限定理教学方法研究.docVIP

中心极限定理教学方法研究 摘 要：中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个重要的定理，衔接着概率论知识与数理统计的相关知识，既是教学重点又是难点。通过结合学生的基础和知识结构以及该定理讲解中常遇到的问题，对中心该定理的课堂教学进行探讨，并给出相应的教学设计。 关键词：中心极限定理；正态分布；教学设计 中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个重要的定理，衔接着概率论知识与数理统计的相关知识，是教学中的一个难点。利用中心极限定理，数理统计中许多纷乱复杂的随机变量序列和的分布都可以用正态分布进行近似，而正态分布有着许多完美的结论，从而可以获得实用且简单的统计分析方法和结论。然而，由于中心极限定理的教学课时少而定理本身又较为抽象，学生很难在短时间内理解该定理并能够加以应用。为此，不少教师对该内容进行了一些探讨。本文结合专科学生的基础和知识结构、产生的疑惑以及教学的需要，以提高学生的应用能力为主线，对该定理的教学方法进行探讨。 1 教学过程中经常遇到的问题 1.1 学生对于中心极限定理非常茫然，不知道它是什么意思 在实际问题中，许多随机现象都是由大量相互独立的随机因素综合影响所产生的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小之极，人们更加关心的是这些微小的影响造成的总的影响，也就是大量独立随机变量和的问题，而中心极限定理则告诉我们，这些微小影响的总和近似服从正态分布。亦即，首先将问题转化为大量独立随机变量和，其次为了使独立随机变量和的极限分布有意义，对其进行标准化，从而只需讨论标准化变量的极限分布为标准正态分布，由此可知独立随机变量和近似服从正态分布。但由于课时不多，教师往往对这部分讲解的比较快，就导致学生对此理解不透甚至不理解，就此产生不知其意的感觉。 1.2 结论的多样性使学生产生学习的恐惧和抵触心理 教材中所给的中心极限相关定理和推论较多，分别是： 中心极限定理 设随机变量x1，x2，…，xn，…相互独立，服从同一分布，且 学生对这定理和推论的含义不理解，且不了解推论其实只是定理的另一种表述，加上定理的抽象性，使得他们以为结论多而烦，产生恐惧和抵触心理。 1.3 学生学习之后不知道如何应用 学生学习中心极限定理时，对于老师讲解的例题能够理解，但是真正要自己动手去做一道习题，就无从下手，不知道怎么将问题转化为中心极限定理所需的条件。这个主要是由于学生对中心极限定理的理解不透，搞不清中心极限定理与实际问题之间的联系造成的，并且有些学生对于中心极限定理在应用方面的理解就是死套定理中的极限表达式，以为是一种机械行为，这就导致这些学生在老师讲解定理的思想时不认真听或者不加以领会。 2 中心极限定理教学设计 2.1 由具体到抽象，通过引例激发学生学习的兴趣 例1 盒中装有100个球，其中20个编号为0，30个编号为1，50个编号为2。随机抽取1个并记取得的球的编号数为x1，则x1的概率分布图如图1。将取得的球放回盒中，再取第2个球，记取得球的编号数为x2，显然x1和x2独立且有相同的分布，记s2=x1+x2分布图如图2。将第2个球放回盒中，再取第3个球，记取得球的编号 如果无限的继续往下做，我们会发现一个非常明显的规律：一个非常不对称的分布，它的多次独立观察的和的分布逼近正态分布。 例2 某保险公司开办一年人身保险业务，被保人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获得2万元赔金。已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险，问保险公司一年内从此项业务中所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率是多少？ 由于该例与学生日常生活相关，学生的学习兴趣一下子就被激发出来。这时可以相应地提出一些问题，引发学生思考，比如5000个参保人中的每个人是否发生事故如何去刻画，能不能用随机变量来描述？此项保险业务的总收益又该如何用变量表示出来，两变量之间的关系如何？等等。 2.2 引入中心极限定理的思想 经过学生的思考后，老师应该及时的引入中心极限定理的思想，然后给出中心极限定理。 由于5000人可以分别看成5000个随机试验，每个人是否发生重大人身事故都是不确定，而影响每个人是否发生事故的因素多种多样，有可能是交通事故、摔伤、被他人打伤等等。而我们要考虑的是5000人对此项保险业务的总收益的影响，也就是这些因素对此项业务的影响总和。这些影响的总和反映在总收益中其实就是一些随机变量和，因此只要知道这些随机变量和的分布就可以求出，总收益在20万元到40万元之间的概率了，那么怎么求它的分布，由于变量非常多，若用卷积公式求解随机变量和的分布，那将是一件非常麻烦的事情，那有没有其他的方法解决这个问题呢？有，那就是中心极限定理。这样就很自然的引入中心极限定理的思想。然后再对中