《二次函数及二元一次方程式.docVIP

一般一元二次方程的表达式为:ax^2+bx+c=0 解一元二次方程的一般方法是用韦达定理，即x=[-b±根号(b^2-4ac)]/2a y=ax2+bx+c 化为顶点式是y=a(x+b/2a)2+4ac-b2/4a ,顶点坐标是 解法 阿贝尔定理指出，任意一元二次方程都可以根据a、b、c三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。 [因式分解法 把一个一元二次方程变形成一般形式後，如果能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。 将方程左边分解成两个一次因式的乘积后(一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。 如果一元二次方程存在两个實根x1,x2，那么它可以因式分解为。 例如，解一元二次方程 x2 - 3x + 2 = 0 时，可将原方程左边分解成。所以，可解得。 公式解法 对于，它的根可以表示为： 有些時候也写成 公式解的证明 公式解可以由配方法得出。 首先先將一元二次方程的一般形式除以a（a在一元二次方程中不為零），我們將會得到 亦即 現在我們可以開始配方了。為了配方，我們必須要加上一個常數（在這個例子裡，它是指一個不隨x而變的量）到等式的左邊，使等式左邊有完全平方的樣子。當 時 我們得到 亦即當我們在式子的兩邊加上 我們將得到： 式子的左邊變成了一個完全平方了。並且可以看出是的平方。式子的右邊則可以通分成一個分數，因此式子變成了： 接下來，對式子的兩邊開根號： 最後，式子兩邊同時減去 公式解終於出現了： 一般化 一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。它們的特征不可以是 2。如果特征是2，2a便會變成零，但除法是不能除以0的。 二次方程中的判别式 應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為 b2 ? 4ac 的數當中任何一個」。在某些数域中，有些數值没有平方根。 根的判别式 对于实系数一元二次方程，称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况： 如果Δ 0，则这个一元二次方程有兩个不同的实数根。如果Δ是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根都是实数。 如果Δ = 0，则這个一元二次方程有兩個相等的实数根。而且這兩個根皆為 如果Δ 0，则这个一元二次方程有兩個不同的复数根。這時根為 实系数一元二次方程 即系数为实数时的一元二次方程。这是最常见和实用的一元二次方程，可以使用解答一元二次方程的所有基本方法解决。 非实系数一元二次方程 即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用非实系数一元二次方程。 根與係數 根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。 图像解法 Δ 0，则该函数与x轴相交（有两个交点）Δ = 0，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）Δ 0，则该函数与x轴相离（没有交点） 一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根的几何意义是二次函数y = ax2 + bx + c的图像（為一条抛物线）与x轴交点的X坐标。 ax2 + bx + c = 0的解是y = x2和交點的X座標 另外一种解法是把一元二次方程ax2 + bx + c = 0化为 的形式。 则方程ax2 + bx + c = 0的根，就是函数和交点的X坐标。 通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。 计算机法 在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解 可以进行符号运算的程序，比如Mathematica, 可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部份顯示平方根及虛數)