《二次根式化简常用方法.docVIP

二次根式化简的常用技巧 一、巧用乘法公式 例1、化简： 解析：本题的关键是对第二个因式提取后，易发现与第一个因式的数量关系，再变形为两数和与两数差的形式，从而运用平方差公式. 原式= = 练习：化简：． 解：原式 　　　　 　　　　． 二、巧用逆运算 例3、化简 解析：本题的关键是巧用积的乘方的逆运算： 原式= = 练习：化简：． 解：原式 　　　　． 三、巧因式分解 对“分式型”代数式,分子分母都是多项式时,有时可以先分别因式分解,通过约分达到化简目的. 例2、化简 解析：本题的关键是将分子中的8拆数配方因式分解，进而约分求得结果. 原式== == 化简：。 分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采取。但我们发现（x-y）和（x+y-）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。 解：原式= ??????? = =0. 练习：化简 （1） （2） 解：（1） （2） 说明：对分母中含二次根式个数较多的式子进行分母有理化，需要较强的观察能力和灵活掌握式子变形的一些技巧。如本例（2），采用因式分解，就容易找到有理化因式；本例（4）逆用分式加法法则，将原式拆成两个式子的和，就容易进行分母有理化。 练：把下列各式分母有理化： （1） （2） 解：（1） 原式 （2）原式= 四、巧拆项、裂项 添项 对于一些连续相加的分式型二次根式,如果拆项后能互相抵消,则可用此法. 例4、化简 解析：本题的关键是将分子中的拆成，分母因式分解，进而裂项化简 原式 = = 练习1、化简：　． 解：原式　　 　　　　　　　． 练习2、 解:因为 巧添项 例6．化简：． 解：原式　 ． 化简： . 分析：本题若直接分母有理化显然较复杂，若将分子添加，利用完全平方公式和平方差公式来解决，则会非常简捷. 解：= = 五、巧换元 当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简单形式，以便于发现解题规律。 例5、化简 + 解析：注意到与的和为，积为2 因此若设=， = 则 +=2 ， +== == 练习：化简：． 解：设，则原式 . 练习：化简：。 分析：本题若先计算出将十分复杂，如果将数字转化成字母积的形式，将会出现“柳暗花明又一村”的境界。 解：令，则 原式。 练习：化简。 分析：观察式子的结构，分母中含有三项，若将分母中的根式去掉，必须进行两次以上的运算，运算量大。如果用字母代数的方法，将其转化为有理式运算，则可简化运算过程。 解：设＝a, =b, =c,则＝ac, =bc,a2－b2=2. 原式＝＝ ＝＝a－b=－。 练习1、（第十届初二“希望杯”）已知a、b、c都为正数，且 则x与y的大小关系为（ ） （A）x＞y （B）x＜y （C）x=y （D）随a、b、c的取值变化而定 练习2、（十二届初二“希望杯”）化简 六、巧构方程 方程法:对于一些带……号的无限循环式的化简,通常可设原式值为x,设法建立一个关于x的方程求解. 例6、化简 解析：本题整体设元可使问题化难为易迅捷获解，设 = 两边平方，得 即 解得 （不合舍去） 所以 = 练习：化简求值 解:设原式=x,则x=两边平方得 即(x-3)(x+2)=0,取正数x=3. 解:设原式=x,  七、巧取倒数 如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解,常常可先取倒再来解决. 例7、化简 解析：此题先取倒数求出倒数的值，从而求得原式的值，可使问题化繁为简，迎刃而解。 设原式=，则 =， ∴原式 练习： 八、平方法 对于被开方数为和差型的复合二次之和（差）,常以退为进，先求出它的平方。 解:设原式=x,则 所以原式= 化简：. 分析：观察式子，发现结果大于0，故可先将整个式子先平方，再求其算术平方根. 解：设=（，则 ==3+，因为，所以，即原式= 练习1、化简：． 解：设则 ． ． 即．　 练习2、化简： 解：设= 显然则 = ……大胆地用完全平方公式吧！计算量其实不大。 = = = = = = ， 即原式= 用这种方法可以很轻松地解决下面这道题题。 （4）计算 解：令 则 =10 把这长串式