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第二章 连续时间傅里叶变换 1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS 狄义赫利条件：在同一个周期内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积。 傅里叶级数：正交函数线性组合。 正交函数集可以是三角函数集或复指数函数集，函数周期为T1，角频率为。 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。 三角形式的FS： 展开式： 系数计算公式： 直流分量： n次谐波余弦分量： n次谐波的正弦分量： (iii) 系数和统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。 称为信号的基波、基频；为信号的n次谐波。 合并同频率的正余弦项得： 和分别对应合并后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。 傅里叶系数之间的关系： 复指数形式的FS： 展开式： 系数计算： 系数之间的关系： 关于n是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。 正负n (n非零)处的的幅度和等于或的幅度。 奇偶信号的FS： (i) 偶信号的FS： ；； (实，偶对称)；； (ii) 偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项。 (iii)奇信号的FS： ；；； (纯虚，奇对称)； ； (iv) 奇的周期信号的FS系数只有正弦项。 周期信号的傅里叶频谱： (i) 称为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。 (ii)称为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。 (iii)称为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。 (iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率(或频率)上有值。 (v)FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为。 (vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位 (vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。 (viii)称为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。 (ix)称为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅度。 周期矩形脉冲序列的FS谱的特点： (i) 谱线包络线为Sa函数； 谱线包络线过零点：(其中为谱线间隔)： ，或， 即当时，。 在频域，能量集中在第一个过零点之内。 带宽或只与矩形脉冲的脉宽有关，而与脉高和周期均无关。(定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽) (9) 周期信号的功率： (10) 帕斯瓦尔方程： 2 非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT) 信号f (t)的傅里叶变换： 是信号的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)。 频谱密度函数的逆傅里叶变换为： 称为FT的变换核函数，为IFT的变换核函数。 FT与IFT具有唯一性。如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。 FT具有可逆性。如果，则必有；反之亦然。 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成 称为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性； 称为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。 (7) FT频谱可分解为实部和虚部： (8) FT存在的充分条件：时域信号绝对可积，即。 注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT。 FT及IFT在赫兹域的定义： ； 比较FS和FT： FS FT 分析对象 周期信号 非周期信号 频率定义域 离散频率，谐波频率处 连续频率，整个频率轴 函数值意义 频率分量的数值 频率分量的密度值 3 典型非周期信号的FT频谱 单边指数信号： 幅度谱： 相位谱： 单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图1所示。 图1 (a)单边指数信号 (b)幅度谱 (c)相位谱 (2) 偶双边指数信号： ，为实偶函数。 幅度谱： 相位谱： 偶双边指数信号及其频谱如图2所示。 图2 (a)偶双边指数信号 (b)频谱 (3) 矩形脉冲信号： (脉宽为?、脉高为E) ，为实函数。 幅度谱： 相位谱： 矩形脉冲信号及其频谱如图3所示。 图3 (a)矩形脉冲信号 (b)频谱 矩形脉冲FT的特点： (i) FT为Sa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积； (ii) FT的过零点位置为； (iii)频域的能量集中在第一个过零点区间之内 (iv) 带宽为或，只与脉宽有关，与脉高E无关。 信号等效脉宽： 信号等效带宽： 图4 (a)信号的等效脉宽 (b)等效带宽 (4) 符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT。 幅度谱： 相位谱： 符号函数及其频谱如图5所示。 图5 (a)