《全国初中数学竞赛辅导初2第11讲勾股定理与应用.docVIP

第十一讲 勾股定理与应用 　　在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理． 　　勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即 a2+b2=c2． 　　勾股定理逆定理 如果三角形三边长a，b，c有下面关系： a2+b2=c2 　　那么这个三角形是直角三角形． 　　早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法． 　　关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法． 　　证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和． 　　过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为 AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG， 　　所以△ACE≌△AGB(SAS)．而 　 　　所以 SAEML=b2． ① 　　同理可证 SBLMD=a2． ② 　　①+②得 SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2， 　　即 c2=a2+b2． 　　证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知 △ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC， 　　所以 　　AG=GH=HB=AB=c， 　　∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°， 　　因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即 　　化简得 a2+b2=c2． 　 　　证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等： △AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB． 　　设五边形ACKDE的面积为S，一方面 　　S=SABDE+2S△ABC， ① 　　另一方面 　　S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ② 　　由①，② 　　 　　所以 c2=a2+b2． 　　关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名． 　　利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论． 　　定理 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍． 　　证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D， 则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中， 　　AB2=AD2+BD2， ① 　　在直角三角形ACD中， 　　AD2=AC2-CD2， ② 　　又 　　BD2=(BC-CD)2， ③ 　　②，③代入①得 　　AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2 　　　=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD 　　　=AC2+BC2-2BC·CD， 　　即 　　c2=a2+b2-2a·CD． ④ 　　(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中， 　　AB2=AD2+BD2， ⑤ 　　在直角三角形ACD中， 　　AD2=AC2-CD2， ⑥ 　　又 　　BD2=(BC+CD)2， ⑦ 　　将⑥，⑦代入⑤得 　　AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2 　　　=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD 　　　=AC2+BC2+2BC·CD， 　　即 　　c2=a2+b2+2a·cd． ⑧ 　　综合④，⑧就是我们所需要的结论 　　 　　特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述： c2=a2+b2． 　　因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)． 　　由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中， 　　(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°； 　　(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°； 　　(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°． 　　勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用． 　　例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2