《分类讨论思想在高中数学中的应用.docVIP

分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置. 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a＞0、a＝0、a＜0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型. ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的.如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型. ③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.如解不等式ax＞2时分a＞0、a＝0和a＜0三种情况讨论.这称为含参型. 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性. 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不漏不重”. 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论. 示范例题 例1. 设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较|log（1－x）|与|log（1＋x）|的大小. 【分析】比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论. 【解】∵ 0＜x＜1???? ∴? 0＜1－x＜1 ，??? 1＋x＞1 ①? 当0＜a＜1时，log（1－x）＞0，log（1＋x）＜0，所以|log（1－x）|－|log（1＋x）|＝log（1－x）－[－log（1＋x）]＝log（1－x）＞0； ②? 当a＞1时，log（1－x）＜0，log（1＋x）＞0，所以|log（1－x）|－|log（1＋x）|＝－log（1－x）－log（1＋x）＝－log（1－x）＞0； 由①、②可知，|log（1－x）|＞|log（1＋x）|. 【注】本题要求对对数函数y＝logx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a＞1时其是增函数，当0＜a＜1时其是减函数.去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性. 例1属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型. 例. 设函数f（x）＝ax－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f（x）＞0，求实数a的取值范围. 【分析】含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解. 【解】当a＞0时，f（x）＝a（x－）＋2－ ∴或 或 ∴ a≥1或＜a＜1或φ??????? 即 a＞； 当a＜0时，，解得φ； 当a＝0时，f（x）＝－2x＋2， f（1）＝0，f（4）＝－6，∴不合题意 由上而得，实数a的取值范围是a＞ . 【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a＞0、a＜0、a＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a＞0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间.本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用. 例. 解不等式＞0? （a为常数，a≠－） 【分析】含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a＞0、a＝0、－＜a＜0、a＜－分别加以讨论. 【解】 2a＋1＞0时，a＞－；??? －4a＜6a时，a＞0 .?? 所以分以下四种情况讨论： 当a＞0时，（x＋4a）（x－6a）＞0，解得：x＜－4a或x＞6a； 当a＝0时，x＞0，解得：x≠0； 当－＜a＜0时，（x＋4a）（x－6a）＞0，解得： x＜6a或x＞－4a； 当a＞－时，（x＋4a）（x－6a）＜0，解得： 6a＜x＜－4a . 综上所述，当a＞0时，x＜－4a或x＞6a；当a＝0时，x≠0；当－＜a＜0时，x＜6a或x＞－4a；当a＞－时，6a＜x＜－4a . 【注】本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏.一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果