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第四专题 圆锥曲线 一．高考命题的特点及预测 ●考点目标定位 1.掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质了解椭圆的参数方程. 2.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用. ●复习方略指南 解析几何侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的. 本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显著特点： 1.注重双基 保持稳定 圆锥曲线在每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右，“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题. 2.全面考查 重点突出 试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上. 3.考查能力 探究创新 试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力. 在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中. 另外,在知识的交汇点处命题，也是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点， 二．题型展示 1.轨迹问题求轨迹方程常用的方法：（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，往往利用三角形或圆的性质来解问题；（3）如果点P的运动轨迹或所在曲线已知，又点Q与点P之间的坐标可以建立某种关系，则借助点P的轨迹可以得到点Q的轨迹；（4）参数法. 椭圆经过点，对称轴为坐标轴， 焦点在轴上，离心率。 (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。 ，把点代入椭圆方程，把离心率用表示，再根据，求出，得椭圆方程；（2）可以设直线上任一点坐标为，根据角平分线上的点到角两边距离相等得. 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为由得， 将代入，有，解得：椭圆的方程 (Ⅱ)由（Ⅰ）知,所以直线的方程为即 直线的方程为，由椭圆图形知的角平分线所在直线的为的角平分线所在直线 若，得，其斜率为负，不合题意，舍去 所以，即 所以的角平分线所在直线的方程 【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为，根据题目满足的条件求出，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程. 变式1（09宁夏海南卷理）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若为椭圆C上的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 【分析】考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，求曲线方程：直接法 解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得解得 所以椭圆C的标准方程为 （Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆C上可得。 整理得，其中。（i） 所以点的轨迹方程为其中，轨迹是两条平行于轴的线段。 （ii），其中 当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分； 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆； 例2.（10江苏卷）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为，右焦点为。设过点的直线与椭圆分别交于点， 其中。 （1）设动点满足,求点的轨迹；（2）设，求点的坐标； （3）设,求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力，运用直接法求轨迹方程。 （1）设点，则：,,。由， 得 化简得。故所求点的轨迹为直线。 （2）将分别代入椭圆方程，以及得：直线方程为：，即，直线 方程为：，即联立方程组，解得：，所以点的坐标为。 （3）点的坐标为直线方程为：，即， 直线方程为：，即。 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：。 当时，直线方程为： 令