4连续时间信号与系统的复频域分析.doc

第4章 拉普拉斯变换与连续系统复频域分析 4.1 学习要求 1、熟练掌握拉普拉斯变换的定义、性质与应用； 2、熟练掌握拉普拉斯反变换的计算方法(部分分式分解法) 3、了解拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系； 4、熟练掌握系统的拉普拉斯变换分析方法，微分方程的变换解； 5、掌握系统函数的概念，系统的极零点的概念及其应用，系统稳定性概念。 4.2 本章重点 1、单边拉普拉斯变换的定义和性质； 2、拉普拉斯反变换的计算方法； 3、微分方程的变换解； 4、系统的s域框图； 5、系统稳定性概念。 4.3知识结构 4.4内容摘要 4.4.1拉普拉斯变换 1、单边拉普拉斯变换的定义 正变换 逆变换 式中，。 2、拉普拉斯变换的收敛域 把使信号的拉氏变换存在的值的范围称为的收敛域（Region of Convergence），缩写为ROC，可以用下面极限表示： 上式表明，极限在条件下为零，在S平面上就是收敛域。称为收敛坐标，通过的垂直线是收敛域的边界，称为收敛轴。如图4.1.1所示。 图4.1.1 平面中的收敛域 3、常见函数的拉普拉斯变换 常用函数的拉普拉斯变换如表4.4.1所示。 表4.1. 1 常用函数的拉氏变换 序号 单边信号 拉氏变换 1 1 2 （是正整数） 3 4 5 6 （是正整数） 7 8 9 10 11 12 （是正整数） 4.4.2 拉普拉斯变换的性质 单边拉普拉斯变换的性质如表4.4.2所示。 表4.4.2 拉普拉斯变换性质（定理） 序号 性质名称 时域 域 1 线性 2 时移特性 3 s域平移特性 4 时域微分特性 5 时域积分特性 6 s域微分特性 7 域积分特性 8 尺度变换特性 9 初值定理 10 终值定理 11 时域卷积定理 12 域卷积定理 4.4.3拉普拉斯逆变换 含有高阶导数的线性、常系数微分（或积分）方程式将变换成的多项式，或变换成两个的多项式之比。它们都称为的有理式，一般具有如下形式 式中，系数、都为实数，和是正整数。 要把展开部分分式，必须先求出的根。为了便于分解，将写作以下形式 式中，为方程式的根，也称为的极点。 同理，也可改写为 式中，为方程式的根，也称为的零点。 按照极点的不同特点，部分分式展开方法由以下几种情况： 1、极点为实数，无重根 其中，所以， 2、包含共轭复数极点 式中，。令，则有 3、有多重极点 其中， 单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义式求，这种方法称为留数法，也称为反演积分法。 留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数在围线中所有极点的留数运算，即 1、为有理真分式，且只有个单值极点 2、为阶有理真分式，且有阶重极点及阶单值极点 4.4.4拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系 如果要从已知的单边拉氏变换求傅氏变换，首先应判明函数为有始信号，即当时，然后根据收敛边界的不同，按以下三种情况计算： （1）当时，只存在拉氏变换，不存在傅氏变换； （2）当时，既存在拉氏变换又存在傅氏变换。而且以代换，就可以由求，即； （3）当时，这时同时存在拉氏变换和傅氏变换，但不是简单的代换关系。这时由求，除把中的以代换外，还必须另外加上冲激函数及其各阶导数项。 4.4.5 线性系统的复频域分析 1、一般信号激励下的零状态响应 系统的零状态响应可按以下步骤求解： (1) 求系统输入的单边拉普拉斯变换； (2) 求系统单位冲激响应的拉氏变换； (3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换，； (4) 求的拉普拉斯逆变换。 （2）系统常系数微分方程的拉氏变换解 拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为域的代数方程，便于运算和求解；同时，它将系统的起始状态自然地含于拉普拉斯变换方程中，既可分别求得零输入响应、零状态响应，并可求得系统的全响应。具体步骤如下： （1）对微分方程逐项求拉普拉斯变换； （2）对拉氏变换方程进行代数运算，求得系统的全响应的拉氏变换； （3）对响应的拉氏变换进行逆变换，得到系统的全响应，还可以得出系统的零状态响应和零输入响应。 4.4.6 系统函数与系统特性 1、系统函数的定义 系统零状态响应的拉氏变换与激励信号的拉氏变换之比称为系统函数，即： 2、由系统函数确定系统的单位冲激响应 由于，当系统的激励为时，零状态响应为，故 即系统的冲激响应与系统函数构成了一对拉普拉斯变换对，和分别从时域和复频域两个角度表征