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* 3）当σ0 时，r1， 即 S 平面左半平面映射到 Z 平面的单位圆之内，系统稳定； S 平面 Z 平面 4）平行于虚轴 jΩ 的线段 S1=σ1 + jΩ1 映射为 Z 平面上半径为 的圆周。 σ1 S 平面 Z 平面 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 S 平面的虚部 1) S 平面上 映射为 Z 平面上 -π≤ω≤π Im Re r=eσT jΩ σ 在 S 平面上，任何一个宽度为（2π/T）的水平带，映射为 Z 平面周期函数 H(ejω)； 2) S平面上 映射为 Z 平面上圆周重复，即不是单值 对应的， z=esT，产生混迭现象。 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 Ha(s) H(z) 极点都在S 平面的 极点都在Z平面 左半平面时，稳定 单位圆内时，稳定 多对一 为防止混迭现象，AF 的系统函数 Ha(Ω) 应在 [-π/T，π/T] 上严格限带。 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 由上面分析结果： S平面与Z平面的映射关系满足转换条件； 但存在着多值(s)?单值(z)映射关系 (3) DF的频响是AF频响的周期延拓 频率混叠 (1)虽然 直接映射 但并非 而是 映射 注意： 只有AF频响限于?/T之内，DF频响才不失真地复现AF频响，否则，设计出来的DF在w=±?附近产生频率混叠。 (2) 采样信号的拉氏变换是其模拟信号的拉氏变换以2?/T为周期，沿虚轴进行周期化。 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 脉冲响应不变法的应用受限 只适合设计带限滤波器，如：低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。 假设 没有频率混叠现象，即满足： 按照上式，并将关系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到： 数字滤波器的频响可以很好模仿模拟滤波器的频响 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 四、?脉冲响应不变法的优缺点 优点： 1、频率变换是线性关系; w=?T ，模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特性； 2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好； 缺点： 1. 有频谱混迭失真现象；(S平面到?Z平面有多值映射关系) 2. 由于频谱混迭，使应用受到限制。(T??失真?，但运算量?,实现困难) 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 【例】 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z) 解：首先将Ha(s)写成部分分式： 极点为： 根据： ，H(z)的极点为： 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 按照： ，经过整理，得到 当：T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则： 将Ha(jΩ) 、H1(ejw)、 H2(ejw)的幅度特性用它们最大值归一化后，得到它们的幅度特性曲线，如下图所示： 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 很轻的混叠现象 严重的混叠现象 脉冲响应不变法主要适用于用部分分式表达的系统函数。 模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子的阶数，则可表达成部分分式的形式： 则逆变换为 对其进行采样 对其进行Z变换 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 脉冲响应不变法的主要缺点:产生频率谱混迭现象。 原因：模拟低通的最高频率超过了折叠频率?/T，数字化后在w= ?形成频谱混叠现象。 解决方法：采用非线性压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到??/T 之间，而后再用 Z=eST 转换到 Z 平面上。 6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 一．双线性变换法消除频谱混迭的原理 1、非线性压缩：(S平面?S1平面映射) 双线性变换法用正切变换实现非线性频率压缩，设Ha(s)，s=jΩ，经过非线性频率压缩后用Ha(s1)， s1=jΩ1 表示。则： 上式表明：当Ω1从π/T经过0变化到-π/T时，Ω则由∞经过0变化到-∞，这样实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换。 0 ?/T -?/T ?1 ? T：时域采样间隔； 6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 由上面可得：??(-?，+?)，?1?(-?/T，+?