§二重积分的应用.ppt

一、立体的体积 二、曲面的面积 三、平面薄片的重心 四、平面薄片对质点的引力 五、小结 一、立体的体积 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 例1 计算由曲面 及 xoy 面所围的立体 体积。 解 设立体在 第一卦限上 的体积为 V1。 由立体的对称性，所求立 体体积 V = 4V1 。 立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为 立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为 它的底为 于是， 所求立体的体积 例2 求两个圆柱面 所围 的立体在第一卦限部分的体积。 解 所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体， 它的曲顶为 它的底为 它的底为 它的曲顶为 于是，立体体积为 例3 求球体 被圆柱面 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。 解 显然，所求立体应在第一、 第四、第五、第八卦限。 而且，四个卦限部分的体积 是对称相等的。 因此，若设第一卦限部分的体 积为 V1 ，则所求立体的体积为 V1 可以看成是一个曲顶柱体， 它的曲顶为 它的底D 由半圆周 及 x 轴围成。 用极坐标系表示 于是， 所求立体体积 二、曲面的面积 １．设曲面的方程为： 如图， --- 曲面 S 的面积元素 曲面面积公式为： ３．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： ２．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 解 设第一卦限部分的面积为 A1 ， 则由对称性，所求的面积为 极坐标系下表示： 例5 求两个圆柱面 所围 的立体的表面在第一卦限部分的面积 A。 解 所求表面分成Ⅰ和Ⅱ，如图。 Ⅰ Ⅱ 第一块（ Ⅰ ）在圆柱面 第二块（ Ⅱ ）在圆柱面 由对称性，这两块曲面的面积相等，即 AⅠ=AⅡ。 因此，A = 2 AⅠ。 在 AⅠ上，曲面方程为 AⅠ 在 AⅠ上，曲面方程为 因此，A = 2 AⅠ。 AⅠ AⅠ AⅠ 于是所求面积，A = 2 AⅠ 三、平面薄片的质心 当薄片是均匀的，重心称为形心. 由元素法 闭区域 D 的面积 解 薄片对 z 轴上单位质点的引力 G 为引力常数 四、平面薄片对质点的引力 解 由积分区域的对称性知 所求引力为 几何应用：立体的体积、曲面的面积 物理应用：重心、对质点的引力 （注意审题，熟悉相关物理知识） 五、小结 作业：116页1 117页 5 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * *