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初三数学复习圆的认识与证明 【知识网络】 【考纲通鉴①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系. ②了解圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. ③了解三角形的内心和外心. ④了解切线的概念、切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线. ⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积. 【知识精要】 一、圆的认识 1．圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 弧优弧劣弧。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧同圆或等圆的半径相等。 不在同一直线上的三点确定一个圆。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧。 （1）（4）（5），所平分的弦不是直径圆心角圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 定理：一条弧所对的圆周等于它所对的圆心角的一半。 的外心，80°，则= . 解析：应考虑外心O在的内部和外部两种情况=40°，140° 2、点C是直径AB=13的半圆上的一点，于D点，且CD=6，则AD= . 解析：点A，D应分在圆心同侧或异侧，AD=4，9 3、（江西）⊙O中，AB是直径，CD是弦，，P是圆周上一点，判断与的数量关系。 4、（山西）AB，AC与⊙O相切于B、C，=50°，点P是圆上异于B、C的一点，则的度数是 . 解析：点P可能在优弧或劣弧上，故第3题=或+=180；第4题65°，115°。 二、凡涉及到有关弦的计算都有可能产生双解,解答它的关键是综合考虑弦与圆心的不同位置，弦所对的弧的不同情况。 例如：1、⊙O中弦AB所对的圆心角为60°，则所对的圆周角为 °. （30°,150°） 2、⊙O的半径为5，圆内接的底边AB长为8，求底边上的高长为 .(8，2) 3、⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，求AB与CD之间的距离1或7. 4、(新疆)⊙O的半径为10，它的内接梯形的上、下底分别为12和16，则，梯形的面积是 .（28或196） 5、（辽宁）在半径为1的⊙O中，弦AB，AC分别为，则的度数为 .（15°，75°） 解析：1、2、应考虑顶点在弦AB所对的优弧或劣弧；3、4、5应考虑两弦在圆心的同侧或异侧。 三、圆中的有关计算通常与垂径定理以及解直角三角形知识相联系，注意由半径，弦心距以及弦的一半构成的基本形。 二、和圆有关的位置关系 点与圆的位置关系 ①三种位置及判定与性质：点在圆外：dr；点在圆上：d=r；点在圆内：dr。 ②三角形的外接圆外心圆的内接三角形圆内接四边形性质定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ①三种位置及判定与性质：如果⊙O 的半径为r，圆心 O 到直线1的距离为d，那么：1）直线1和⊙O 相交dr?；2）直线1和⊙O 相切d=r ； 3）直线1和⊙O 相离dr 。 ②切线长切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。④三角形的内切圆内心圆的外切三角形 ①五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) ②相切（交）两圆连心线的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 ③外公切线，内公切线公切线的长。⊙O上的点的最短距离为2，圆的半径为4，则点P与⊙O上点的最长距离为 . 解析：点P分在圆内，圆外，故为6或10。 2、（四川）已知⊙O的直径是6，P为直线上一点，OP=3，那么直线与⊙O的关系是 . 解析：若OP与直线垂直，则直线与圆相切；若不垂直，则直线与圆相交。 二、由圆与圆的位置关系不定而产生的多解。 1、⊙O1的半径为4，⊙O2的直径为5，切两圆相切，则圆心距是 ,（1或9） 解析：两圆分内切与外切。 2、（哈尔滨）⊙O的半径为，⊙O′的半径为5，⊙O与⊙O′相交于点D、E。若两圆的公共弦DE的长是6，则两圆的圆心距OO′的长为 . 解析：两圆相交时，圆心可在公共弦的同侧或异侧，故长为2或10。 三、与圆有关的计算 1.弧长：半径为的圆周中，n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式：l= 扇形扇形面积：在半径为的扇形中，圆心角为n°的扇形面积的计算公式是： 3．圆锥的侧面展开图是一个扇形。 ?? 设圆锥的母线长为 ，底面半径为则 S圆锥 S底面= S圆锥锥 S底面= + 四、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧 五、基本图形 六、重要辅助线 1.作半径2.见弦往往作弦心距3.见直径往