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建 筑 与 数 学 秦佑国 数学的定义和发展 “数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”（恩格斯《反杜林论》）。恩格斯在论述数学是现实世界的反映，产生于人类的实际需要的同时也指出：“这些材料表现于非常抽象的形式之中”。一百多年来现代数学的发展，一方面使数学具有更高的抽象程度，另一方面数学对象的推广已经越出了对数量关系和空间形式传统的理解范围，数学不仅研究直接从现实世界抽象出来的数量关系和空间形式，而且研究那些运用数学已经形成的概念和理论为基础定义和推理演绎出来的关系和形式。因此，可以把客观世界和主观世界中的数量关系和结构关系作为数学的对象，空间形式被看作是结构关系的一个方面。 数学的历史发展通常划分成初等数学、高等数学和现代数学三个阶段。公元前7～5世纪以前，人类发展漫长的历史时期是数学的萌芽阶段，公元前5世纪至公元17世纪为初等数学阶段；从17世纪初到19世纪末为高等数学阶段，从19世纪末开始数学进入现代数学阶段。 在初等数学阶段，数学的对象是常量和简单几何形体。这个时期数学的基本成果：初等代数和欧几里德几何（初等几何）成为现在中学数学课程的主要内容。 高等数学阶段，以笛卡尔建立解析几何为起点，微积分的建立是这一阶段最显赫的成就和标志。高等数学的对象是变量及其函数。研究变量和函数的数学领域称为分析。在这时期，与解析几何同时还产生了几何的另一分支一一一射影几何，并产生了数学的重要的新领域一概率论。 现代数学阶段以康托尔建立集合论为起点。2O世纪以后用公理化体系和结构观念来统观数学成为现代数学的明显标志。现代数学的对象是一般的集合和各种抽象的逻辑上可能的形式和关系。现代数学阶段以其三大基础领域一一一几何、代数和分析中的深刻变化作为开端。非欧几何的产生和多维空间概念的形成，使“空间”这个概念已经超越了物质世界现实空间的含义，获得了新的更广泛的意义。代数的对象从传统的数扩展到具有更为普遍性质的量以至结构和系统，如向量、矩阵、群、环、域、线性空间等。数学分析的对象从变量扩展到变化的函数，从变量空间扩展到函数空间。集合论的产生和数理逻辑的研究促使数学家从数学、逻辑和哲学上考虑数学的本质和基础。 形成于2O世纪3O年代的布尔巴基学派提出用“结构”的观点来统观数学，按照“结构”的不同及其联系对数学加以分类和重建。“结构”观点对现代数学的发展有巨大而深刻的影响。在现代数学发展过程中，老的数学部门以新的原则、思想和成果丰富着自己，仍在继续发展中；同时伴随着现代物理学、工程技术科学、经济学等的发展，也引起应用数学和一些新的数学领域的产生和发展，如统计学、运筹学、信息论、控制论、系统论、计算数学，等等。 二、科学的数学化 英国数学家、哲学家怀特海（A. N. Whitehead）在1939年所作的《数学与善》的讲演中曾经预言：“在人类思想领域里具有压倒性的新情况将是数学地理解问题占统治地位。”现代科学发展中日益深刻的数学化趋势验证着怀特海的预言。一门科学从定性描述进入定量分析往往是这门科学达到比较成熟阶段的重要标志。马克思认为：“科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真IE完善的地位。”数学是科学的语言、计算的方法和思维的工具。现代世界意外地发现，数学被成功地运用到极其不同的各个科学领域。联合国科教文组织出版的《世界数学教育的新动向》中指出：“在人类社会的任何领域里，最近和将来都不可避免地利用数量计算、逻辑推导和数学化模型。在传统的物理学和工程学以外，生物科学、社会科学、经营管理学、人文科学和日常生活都要以各数学分支及它们的相互结合为工具，加之统计的和计算机的模型化，数学还将渗透到人文科学里最近发现的新课题。”人类智力活动中未受数学科学的影响而大力改观的领域已寥寥无几了。 在看到数学对科学发展的巨大作用的同时，也应该看到科学对数学发展的反作用。如果说在过去一些科学中数学的应用“几乎为零”，这一方面说明它们利用数学的条件还不完备，另一方面则是“进入”这些科学的数学也不完备。现代科学的数学化不是把现成的数学理论简单地搬用到某门科学中去，而是要创造性地使之适应这门科学的需要，或者为这门科学创立数学理论。 三、现代数学的发展趋势 现代科学正在向复杂性进军。科学对复杂性的探索导致了数学越出了传统的概念和对象而发生着深刻的变化： 从单个或少数变量到多变量，从低维空间到高维空间。这表示数学模型中包含的因素和参数的数量大大增加，复杂性也大大增加，井产生了一些质的变化。与此相应发展起来一些数学中的新学科，如多线性代数、多复变函数、多元统计分析等等。最近十儿年来，具有不必是整数的分数维（fractal dimension）的几何对象一一分形（fr