《初三相似基础学案.docVIP

相似学案 一、比例线段 1.（成）比例线段：＝，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 设a、b、c、d为线段，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项..比例性质 （1）比例的基本性质（这是等积式与比例式互相转化的依据） （2） 合比性质 若，则或. （3）等比性质 如果，那么 合比性质，∴ 2. 等比性质∴设 则又∵ ∴ 例1. （易） （1）求4、9的比例中项；（2）求4cm、9cm的比例中项. 解析：利用比例中项的定义求解即可. 解：（1）设比例中项为x，则 4：x=x：9x2=36x=±6 （2）设比例中项为xcm，则4：x=x：9 x2=36 x=6（负值舍去） 答：（1）4、9的比例中项为±6；（2）4cm、9cm的比例中项为6cm. 总结：要牢记比例中项的定义，注意有单位与无单位的区别，有单位代表的是线段，不能为负；无单位，代表的是数，不能丢掉负值（前提已说明是线段的例外）. 例2. （中）（1）求2、3、4的第四比例项； （2）求3、2、4的第四比例项； （3）求能与数2、3、4成比例的数x.. 解析：利用第四比例项和成比例的定义解决这几个问题即可. 解：（1）设第四比例项为d，则2：3=4：d, 2d=12，d=6 （2）设第四比例项为e，则3：2 =4：e, 3d=8 d= (3)若x与2同为内项或外项，则有2x=12,x=6； 若x与3同为内项或外项，则有3x=8,x=； 若x与4同为内项或外项，则有4x=6,x=. 总结：注意第四比例项的位置，以及前三项的严格顺序；若题中没有指明第四比例项，则要注意分类讨论. 例3. （难）(1)若（2x-3y）∶(x+y)=1∶2,求x∶y； （2）已知三角形三边之比为a∶b∶c=2∶3∶4，三角形的周长为18㎝，求各边的长. （3）若，求k的值； 解析：利用比例的性质即可解决. 解：（1）由（2x-3y）∶(x+y)=1∶2得 2（2x-3y）=x+y 3x=7y ∴x∶y=73 （2）∵a∶b∶c=2∶3∶4， ∴设a=2k,b=3k,c=4k ∵三角形的周长为18㎝ ∴a+b+c=18 即2k+3k+4k=18 ∴k=2 ∴a=4㎝,b=6㎝,c=8㎝ 答：三边长分别为4㎝,6㎝,8㎝. （3）由得 a+b=ck ① b+c=ak ② a+c=bk ③ 由①+②+③得：2(a+b+c)=k(a+b+c) 当a+b+c≠0时，k=2； 当a+b+c=0时，a+b=-c, 综上所述，k的值为2或-1. （四）思考与提高：（中）1．已知，求的值。（） （难）2．已知 ， 求 的值.（2或0） 分析：K的4次方=1 k=1或-1 二、相似多边形 1.相似图形:具有相同形状的图形称为相似图形相似形的：相似形的对应边,对应角相等. 两个多边形相似判定两个边数相同的多边形，对应边比，对应角相等，则乙与甲的相似比为. 三、相似三角形 1.相似三角形：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形. 如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，其中对应顶点要写在对应位置，如A与D，B与E，C与F相对应.AB∶DE等于相似比. 注意：两个三角形的相似比等于1时，称两三角形全等. 2.相似三角形的基本性质： （1）相似形的对应角相等.4.相似三角形的几种基本图形： （1）如图： 称为“平行线型”的相似三角形. （2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形. （∠B=∠D） （垂直型1） 垂直型2 （3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC， 称为“旋转型”的相似三角形. 例题分析： （易）例1.已知：如图，△ABC中，DE∥BC，AB=6， AD=2，EC=3，求AE的长. 解析：直接利用平行线得两三角形相似即可. 解：∵AB=6，AD=2，∴BD=4 ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC. ∴ ∴ ∵EC=3， ∴∴ （中）例2. 已知：如图，△ABC中，DE∥BC，AD+EC=9， DB=4，AE=5，求AD的长. 解析：本题单独用比例式，不能直接求出AD的长，要联合条件AD+EC=9，不妨设AD=x，则EC=9-x，代入比例式中，即可求出. 解：设AD=x， ∵AD+EC=9， ∴EC=9-x ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC. ∴ ∴ ∵DB=4，AE=5， ∴ ∴x2-9x+20=0