《开普勒第一、二、三定律.docxVIP

开普勒第一定律开普勒第一定律，也称椭圆定律、轨道定律、行星定律。每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。开普勒第一定律是由德国天文学家约翰尼斯·开普勒提出的。在此定律以前，人们认为天体的运行轨道是：“完美的圆形”.1定律定义开普勒在《宇宙和谐论》发表的表述：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。 2数学推导设定这样，角速度是对时间微分和对角度微分有如下关系：根据上述关系，径向距离 对时间的导数为：再求一次导数：代入径向运动方程 ，将此方程除以，则可得到一个简单的常系数非齐次线性全微分方程来描述行星轨道：为了解这个微分方程，先列出一个特解 再求解剩余的常系数齐次线性全微分方程，它的解为这里，与是常数。合并特解和与齐次方程解，可以得到通解选择坐标轴，让。代回 ，其中，是离心率。这是圆锥曲线的极坐标方程，坐标系的原点是圆锥曲线的焦点之一。假若，则所描述的是椭圆轨道。这证明了开普勒第一定律。 3发展简史开普勒1596年出版《宇宙的神秘》一书受到第谷的赏识，应邀到布拉格附近的天文台做研究工作。1600年，到布拉格成为第谷的助手。次年第谷去世，开普勒成为第谷事业的继承人。第谷去世后开普勒用很长时间对第谷遗留下来的观测资料进行分析，他在分析火星的公转时发现，无论按哥白尼的方法还是按托勒密或第谷的方法，算出的轨道都不能同第谷的观测资料相吻合，他坚信观测的结果，于是他想到火星可能不是作当时人们认为的匀速圆周运动，他改用各种不同的几何曲线来表示火星的运动轨迹，终于发现了“火星沿椭圆轨道绕太阳运行。[3] 开普勒在1619年出版的《宇宙和谐论》发表该定律。4定律影响开普勒第二定律：在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。 这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。开普勒第三定律：是指绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。这里，a是行星公转轨道半长轴，T是行星公转周期，K是常数，其大小只与中心天体的质量有关。开普勒第二定律开普勒行星运动第二定律，也称面积定律，指的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。 该定律是德国天文学家约翰尼斯·开普勒发现的三条开普勒定律之一。最初刊布在1609年出版的《新天文学》中，该书还指出该定律同样适用于其它绕心运动的天体系统中。 开普勒第二定律是对行星运动轨道更准确的描述，为哥白尼的日心说提供了有力证据，并为牛顿后来的万有引力证明提供了论据，和其他两条开普勒定律一起奠定了经典天文学的基石。 1定律定义约翰内斯·开普勒在《新天文学》中的原始表述：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。 常见表述：中心天体与环绕天体的连线（称矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。即：式中，k为开普勒常量（且不同的天体系统内拥有不同的开普勒常量），r为从中心天体的质心引向行星的矢量。为行星速度与矢径r之间的夹角。 如左图所示，用公式表示为：Sek=Scd=Sab。开普勒第二定律示意图2数学推导由于万有引力充当向心力，所以角动量守恒定律给出：解出r2，得到，同时，极坐标形式下，面积元为：代入上面的求得的r2，可以得到：即，再把两边积分即得到了开普勒第二定律。 由一式可以看出，这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。3适用范围范围开普勒定律适用于宇宙中一切绕心的天体运动。局限点1.对于处在较大引力场中的行星，如水星，会出现近日点进动的现象，此时开普勒第二定律需要用广义相对论加以修正。具体为：1915年，爱因斯坦根据广义相对论把行星的绕日运动看成是它在太阳引力场中的运动，由于太阳的质量造成周 围空间发生弯曲，使行星每公转一周近日点进动为：其中a为行星轨道的长半轴，c为光速，以cm/s表示，e为偏心率，T为公转周期。对于水星，计算出ε=43″/百 年。2.对于具有极大能量的天体，如类星体，现有的开普勒第二定律显然不适用。衍生推论1.设行星1和行星2运行轨道的半径分别为R1和R2，当R1小于R2 时则有（1）行星1的线速度大于行星2的线速度；（2）行星1的角速度大于行星2的角速度；（3）行星1的加速度大于行星2的加速度 ；（4）行星1的运行周期小于行星2的运行周期 ；（5）在相同的时间内，行星1的运行路程大于行星2的运行路程 ；（6）在相同的时间内，行星1扫过的角度大于行星2扫过的角度。 2.行星在椭圆轨道运动时，极径(又称向径R)所扫过面积与经过的时间成正比，即掠面速度守恒 (dS/dt=R*da/dt=vR)，亦即矢积守恒，又称动量矩（角动量mvR）守恒。拓展形式数据：两倍掠面速度(J0)，两倍椭圆面积(2πab)，椭圆周期定律(T)，极径(R)，偏斜