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《初中升高中数学衔接教材1
乘法公式、因式分解
重点:十字相乘法,分组分解法,试根法
难点:公式的灵活运用,因式分解
教学过程:
乘法公式
二、因式分解:将一个多项式化成几个整式的积的形式,与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有:提取公因式法,公式法(平方差、完全平方、立方和、立方差等)
(1)
要将二次三项式x2 + px + q因式分解,就需要找到两个数a、b,使它们的积等于常数项q,和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解,即
x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
用十字交叉线表示: 1 a
1 b
a + b (交叉相乘后相加)
若二次项的系数不为1呢?,如:
如何处理二次项的系数?类似分解:1 -3
2 -1
-6 + -1 = -7
整理:对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2排列如下:
a1 +c1
a2 +c2
a1c2 + a2c1 = a1c2 + a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。〔按行写分解后的因式〕
十字相乘法关键:(1)看两端,凑中间;(2))) (3)
(2),观察;无公因式,四项式,则不能用提公因式法,公式法及十字相乘法
两种方法
适当分组后提出公因式,各组间又出现新的公因式,····叫分组分解法
▲如何适当分组是关键(尝试,结构),分组的原则,目的是什么?分组后可以提取公因式,或;利用公式
练习:因式分解(1)); (2); (3);(4)
(5);(6)
(7);(9)
二次函数及其最值
重点:二次函数的三种表示形式,韦达定理,给定区间的最值问题
难点:给定区间的最值问题
教学过程:
韦达定理(二次方程根与系数之间的关系)
二次方程什么时候有根(判别式0时),此时由求根公式得,,求出了具体的根,还反映了根与系数的关系。那可以不解方程,直接从方程中看出两根和(积)与系数的关系吗,
反过来,若满足,那么一定是的两根,即韦达定理的逆定理也成立。
作用:(1)已知方程,得出根与系数的关系
(2)已知两数,构造出以两数为根的一元二次方程(系数为1):
例1:是方程的两根,不解方程,求下列代数式的值;
① ②
二、二次函数的三种形式
一般式:
顶点式:,其中顶点坐标为(h,k)
练:求下列函数的最值。(1) (2) (3)
除了上述两种表示方法外,我们还可以借助图像与x轴的交点,得出另一种表示方法;
函数的图像与x轴公共点的横坐标就是方程的根,那它根的情况由谁决定 ,(判别式),当方程有两根时,由韦达定理可知,
所以,这是二次函数的交点式。
(3)交点式:
▲根据题目所给条件,适当选择三种形式。
例2:分别求下列一元二次函数的解析式。(P43-44)
已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2;
已知二次函数的对称轴为x=1,最大值为15,图象与x轴有两个交点,其横坐标的立方和为17;
三、二次函数在给定范围内的最值问题
例3、已知函数,当自变量x在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值:
(1); (2); (3); (4)
动范围问题(选讲)
例4、已知为大于-1的常数),求函数的最大值M和最小值m。(P50)
▲数形结合,根据对称轴与取值范围内图象的相对位置进行分类讨论,把握好为什么要分类讨论、如何进行分类讨论。(要讲到位)
作业:
已知某二次函数的图象的顶点为A(2,18),它与x
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