《初中各难定理.docVIP

托勒密定理 定理图 定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 　　 定理的提出 　　一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。 证明 　　一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 　　在任意四边形ABCD中，作ABE使BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 　　因为ABE∽△ACD 　　所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 　　而BAC=∠DAE，，ACB=∠ADE 　　所以ABC∽△AED相似. 　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) 　　(1)+(2),得 　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 　　又因为BE+ED≥BD 　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 　　所以命题得证 　　复数证明 　　用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a ? b)(c ? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b ? d) ，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 　　二、设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角BAC = ∠BDC，而在AB上，ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K，使得ABK = ∠CBD； 因为ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以CBK = ∠ABD。 因此ABK与DBC相似，同理也有ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。 　　三、 　　托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 　　证明：如图1，过C作CP交BD于P，使1=∠2，又3=∠4，ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC 。又ACB=∠DCP，5=∠6，ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD 。＋得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC． 　　 推论 　　1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 　　2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、 推广 　　托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 　　简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模， 　　得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 　　注意： 　　1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 　　2.四点不限于同一平面。 　　欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD 塞瓦定理 简介 　　 塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。 具体内容 　　塞瓦定理 　　在ABC内任取一点O， 　　直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 　　证法简介 　　（）本题可利用梅涅劳斯定理证明： 　　ADC被直线BOE所截， 　　 (CB