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微积分中的“辅助线” PB09203XXX 摘要：在微积分的学习与作业中，不难发现在一些等式的证明中，常毫无思路，看了答案之后拍案惊奇。一些变化仿佛横空出世，添加一项或是减去一项，或整个变换形式，通过辅助函数。这便是构造。构造函数法是一种重要的数学方法，其构造方法思路也是多种多样的，通过整理，综合构造函数法在一些著名的定理，公式以及经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路。 关键词：微积分 辅助函数 等式 微分中值定理 构造 在以往的学习中无论是数学还是物理，遇到难题没有一点思路，最后一般我们都是采用了曲线救国，如几何中的辅助线法。或许直走也能通，但当我们站在目的地回望，便会发现做题过程中，并不是亮点之间直线最短，曲线往往才是最快的捷径，这便像从山前到山后，当然从山脚绕过去比一股脑的从高山上越过去方便的多。 微积分中亦是如此，当命题过于抽象难以解决时，顺着做下去可能就遇到一些知识与技巧上无法凭己之力翻越的高山。感觉所熟知的定理都不能直接使用。这时，单凭对定理的一般运用是无法解决问题的，而是需要构造出一个既能运用题设条件又能应用相关定理得辅助函数，将抽象的关系通过具体的函数表达出来，转化为比较直观的，易于解决的问题，从山脚绕过去。 构造在数学领域中广泛地被采用着，它们所起的作用是桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用。所谓构造，即构造函数，就是利用数学中的概念和方法，按固定的模式经过有限个步骤能够定义的概念和能都实现的方法。而构造函数，简而言之，就是为了使某一数学命题或者某一数学概念通过已知的数学概念和方法，人为地构造出来的函数，这些函数的存在，往往依赖于已知命题的函数的存在，在条件的约束下，去达到证明或者说明某种结论或概念的正确性。 下面我们便走进构造。 一、构造函数法在基本定理证明中的运用 微分中值的定理证明代表着构造函数法的一个重要的思路，这个思路是当构造一个辅助函数时，其辅助函数的构造的条件必须满足现有某个已证定理的条件，进而解决问题。具体的来说罗尔定理证明中是构造出了满足Fermat引理的函数，进而推导出了结果；而lagrange中值定理和Cauchy定理则都是构造出了满足罗尔定理条件的辅助函数，来推导出了最终的结果。构造函数法的思想是发散的，所以其在微分中值定理的证明中的辅助函数的构造也是多种多样的，这种多态化的思想启发出，在使用构造函数法时，我们可以使用各种所学知识，根据命题条件，构造出满足题意的辅助函数来。 微分中值定理的证明实现了函数与导数之前的沟通，是利用导数研究一些函数性质的重要途径。以微分中值定理为基础的各种中值问题，成为微积分学习中的重要内容。这类问题的常见形式是：设函数在上连续，在上可导，且满足某些附加条件，求证存在一点使得某个含有的等式成立。 处理这类问题，关键在于如何构造出能够满足罗尔，lagrange定理和Cauchy定理条件的辅助函数。通常采用的构造函数方法大多限于几个初等的试探方法，如利用函数的几何图像等。用这些方法构造函数往往需要很高的技巧，实际做题中如不是做了很多题很有经验，常常会无从下手，不能成功构造。如果考虑到lagrange中值定理和Cauchy中值定理是罗尔中值定理的推广形式，罗尔中值定理的结论为一个导数形式，那么构造辅助函数其实就是要寻找一个能够满足罗尔中值定理条件的原函数，这样，我们可以利用微分运算的逆过程——积分运算，来构造辅助函数，以解决有关微分中值的问题。 著名的牛顿—莱布尼茨公式里的连续函数在上的一个原函数。在证明了这一结论的过程中，也用到了构造。巧妙地运用了积分上限函数，这是个构造函数，最大的特点就是满足。正是由于有了这个函数，才最终证明了这个可以说是积分中非常重要的公式。 二、利用构造函数与中值定理证明命题 基本定理的证明中已经用到构造，利用基本定理证明新命题的时候又利用构造往基本定理上靠拢。而证明的方法也是多种多样的，但常用的归结起来也就几种。 其中我们接触最多的便是原函数法。 这是一种逆向思维的方法，在结合微分中值定理求解介值定理（或者零点）问题时，要证明的结论往往是一个函数的导函数的零点，这时可通过不定积分反求出原函数构造出辅助函数，首先先将结论通过恒等变换，化为容易积分的函数形式，一般常用移项将等式一端变换为常数0，等式中的变量便作为函数变量，再设法求出原函数，即得所需的辅助函数，最后结合微分中值定理，推导出结论来。 例1：证明在连续，可导，则存在，使 。 证明一：将要证的结论变形得 ， 将等式中的记为，即 ， 然后积分得 ， 得到辅助函数 ， 显然在上连续，在内可导，又因为，满足罗尔定理，