《微积分郭庆磊.docVIP

浅谈微积分在高中数学中的应用要 微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求解导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用。 关键词：导数；函数；方程；定积分；面积 前言 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。 从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。那么，微积分在高中数学中有哪些应用？本文将举例说明微积分在判定函数的单调性、极值，讨论方程的根，证明不等式和恒等式，求切线方程、作函数图象、求平面区域的面积等方面的应用． 一、导数在高中数学中的应用 ??? 《课标》中对微积分的教学内容明确提出：“导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．要求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”． ??? 1．导数在函数单调性问题上的应用 函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识．用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷． 例.求函数的单调区间. 分析：这是求函数单调区间的问题，这类问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂一些.在这个题目中，需要结合三角函数的图象考虑它的某些特殊性质.首先对求导，得到；再令或，通过解关于的不等式，得到的单调递增（减）区间.根据正弦函数的周期性，在解不等式的过程中，可以先考虑其一个周期的解集，然后再扩展到整个定义域上. 解：? ∵ 令 解得??? 或 当时，是增函数. 再令???? 解得?? 或 当时，是减函数. 单调减区间 ； 单调递增区间. ??? 2．导数在函数的极值问题上的应用 最值（极值）问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了中学数学知识的各个方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也好掌握。 一般地，函数闭区间[a，b]上可导，则在[a，b]上的最值求法： ①求函数在（a，b）上的极值点； ②计算在极值点和端点的函数值，比较而知，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 例 求函数的极值和最值。 解：?????? ， 令 得 解得， 由 可得： ，因此， 当时，得； 当时， 得； 当时，得。 则， 3．导数在方程解的问题上的应用 (1) 利用导数判定单调性，可研究方程根的个数问题. ??? 例 若，则方程在上有多少根？ ??? 解：设，则， 当且时，， 故在上单调递减，而在与处都连续，且 ????????? ， 故 在上只有一个根． (2) 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）． 例 求方程的近似解． 解 设，，可以知道方程的唯一根在开区间(1，2)之中，取x０＝2，牛顿法的迭代公式为 xn+1＝xn－＝xn－＝ ， 则 ??? x１＝＝1.77185 ??? x２＝＝1.76324 ??? x３＝＝1.76323 因此给定一个精确度，我们就可以求出该方程的近似解． ?? ?4．用导数证明不等式 ??? 利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点．其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式． ??? 例 当时，证明不等式成立． ??? 证明：设，则． ∵∴ ∴在内单调递减，而， ??? ∴， 故当时，成立． 一般地，证明，可以构造函数， 如果，则在上是减函数，同时若，由减函数的定义可知，时，有，即证明了． ??? 例 （2007年安徽高考试题