《初中数学比例式的证明方法.docVIP

第16讲 比例式的证明方法 艺术的进步在很大程度上取决于艺术的特征.为什么人们总是用数和线或由数和线所描述的事物来说明问题呢？这是因为任何概念除了与数和线相对应的这些特征以外，再无其他更重要的特征了. ——莱布尼兹 知识方法扫描 1．。而比例式的证明，可由题目条件选择平行线分线段成比例定理，相似形的性质或角平分线性质定理来解决。必要时还需引入第三比来转化。 2．，，一类式子的证明，常将其转化为若干比例式之积来解决。如要证明，可先设法证，二式相乘即可。这里寻找线段x,是证题的关键。 3．一类以分式形式出现的等式的证明，一般是利用比例关系化为分母相同的一组比，然后进行计算，这种方法类似于分式运算中的通分。还有一类形如的式子中没有线段的比，可以化为的形式来证明。 4．形如ab+cd=ef的等式的证明，常将e或f两段中的一段分成两段，如将f分为x+y,然后设法证明ab=ex,cd=ey即可，选择f上的分点，是探寻证题思路的关键。 5．利用比例线段还可以用来证明线段或角的相等，以及证明直线的平行与垂直等，还可以用来计算有关线段长度，及角的度数等． 如图，在⊙O内，弦AB∥CD，QO⊥AB交BC于P，交AC延长线于Q，求证：OP?OQ=OA2。 证明 连结PA，OB。因AB∥CD，QO⊥AB，故∠OM=∠AOM=∠AOB =∠ACM，于是∠BOP=∠PCQ又∠OPB=∠CPQ，于是∠OPB=∠Q。但显然有∠OPB=∠PAO，于是∠PAO=∠Q。从而△POA∽△AOQ，OP?OQ=OA2。例2．. 证明 如图，∠DIB＝∠ADI－∠DBI＝(90°－∠1)－∠2＝90°－∠BAC－∠ABC＝90°－(180°－∠ACB)＝∠ACB＝∠3, 同理可证∠EIC＝∠2, 故有△IDB∽△CIB. , 即 IB2＝BD·C. 同法可证△CEI∽△CIB，∴△IDB∽△CEI， ∵AI平分∠DAE, AI⊥DE,DI＝EI. 即ID2＝BD·CE. 例3．。 证明 设FC，EB分别交AD于H，G。连结BD，CD。 由射影定理，得 AB2=AG?AD AC2=AH?AD，于是………① 由 CF∥BE，得………③ 由①②③得例4．证明 作DE交AC于E，使∠1=∠2，因∠3=∠4，故△CDE∽△DAB，于是有，AB?CD=DB?CE 同理可证△DAE∽△CDB，，DA?BC=BD?AEAB?CD+ DA?BC= DB?CE+ BD?AE=BD（CE+AE）=BD?AC。 评注1． 本题就是托勒密定理：圆内接四边形的对角线之积等于它的两组对边乘积之和。 2．托勒密定理的逆定理也是成立的，即若一个四边形的对角线之积等于它的两组对边乘积之和，那么这个四边形内接于圆。 例5（1985年黑龙江省齐齐哈尔市、大庆市初中数学竞赛）如图，P为△ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP交AB于M．求证： 解 如图，过A作BC的平行线分别交直线BN、CM于G、H．连GC、HB.易知HG∥DE∥BC. 由D为AB中点，可知P为BG、CH的中点．故四边形BCGH为平行四边形，有 于是， 例6．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．。 分析 要证明，只要证明或即可。 设法利用长度分别为AB，BC，CA及AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．注意到原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题． 延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明△ADE∽△ABC．设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则∠A+∠B+∠C=7α=180°．由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以∠ACE=180°-4α＝3α，所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．从而∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．又由作图AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，△BDE是等腰三角形，所以∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，所以 △ABC∽△DAE，。 所以 证明 ∵DF为Rt△BDE斜边上的高, ∴∠EDF=∠EBD, 故△EFD∽△EDB。 于是，从而。 由条件, 所以，即有 ① 另一方面,∠AEF=90°+∠EDF=∠CDF, 即∠AEF=∠CDF ② 由①②可知△AEF∽△CDF, 所以∠AFE=∠CFD. 于是∠AFC=∠DFE=90°. 例8．（1978年天津市数学竞赛试题）设△ABC为等腰三角形，BC为底边，D为从A到BC的垂足，以AD为直径作圆，由B，C依次作圆的切线BE和CF， E，F为切点，证明EF在△