《初二上数学第二单元精讲.doc

【基础知识精讲】 1．了解一个数的立方根的意义。 2．会用根号表示一个数的立方根。 3．弄清立方根与平方根的区别。 4．会用计算器求一个数的立方根。 ? 【重点难点解析】 1．立方根与平方根概念的对比 （1）平方根的概念 ①定义：若，则x叫做a的平方根； ②性质：1°正数有两个平方根，它们互为相反数，如4的平方根为±2，记作；2°零的平方根是零，记作；3°负数没有平方根。 （2）立方根的概念 ①定义：若，则x叫做a的立方根； ②性质：1°正数有一个立方根，仍为正数，如：8的立方根是2，记作；2°零的立方根是零，记作；3°负数有一个立方根，仍为负数，如：－8的立方根为－2，记作。 2．开立方是立方的逆运算 正如开平方运算是平方运算的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算，例如：这是求3的三次幂等于27，27叫做幂，属乘方运算，这是求27的三次方根等于3，3叫做立方根，属开立方运算。 3．如何求一个数的立方根？ 方法一：由立方根的定义，求一个完全立方数的立方根。 例如：求的立方根。 解：∵，而， ∴的立方根是。 方法二：利用计算器。 4．怎样求负数的立方根？ 因为负数有一个负立方根，根据这一性质可以得到：如果a0，那么，例如，。 注意：这个性质，对于平方根来说是完全不能适用的，因为负数没有平方根。 ? 【典型热点考题】 例1 求下列各数的立方根： （1）512； （2）－343； （3）0.729； （4）； （5）； （6）±0.125。 点悟：根据开立方与立方互为逆运算的关系，可以通过立方的方法求一个数的立方根。 解：（1）∵，∴512的立方根为8，即。 （2）∵，∴－343的立方根为－7，即。 （3）∵，∴0.729的立方根是0.9，即。 （4）∵，∴的立方根是，即。 （5）∵，， ∴的立方根是，即。 （6）∵，， ∴±0.125的立方根是±0.5，即。 例2 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 点悟：注意应用公式并依顺序进行计算。 解：（1）。 （2）。 （3）。 （4） 。 （5）。 （6）。 点拨：将数化为3次幂是进行开立方运算的要点。 ? 例3 判断下列语句的正确与否，并说明理由。 （1）0.125的立方根是0.5； （2）不可能是负数； （3）如果a是b的立方根，那么ab≥0； （4）若一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1。 解：（1）正确，因为，所以，0.125的立方根是0.5。 （2）不正确，根据立方根的概念，当a是负数时，就有一个负的立方根，即就是负数，如。 （3）正确，因为，若b是正数，它的立方根a也是正数；若b是负数，它的立方根，即a也是负数；如果b是零，它的立方根a是零，所以，不论哪种情况，都有ab≥0。 （4）不正确，一个正数的立方根只有一个数，平方根均有两个数，而平方根只有一个数的是0，0的立方根也是0，故一个数的平方根与立方根相同，那么这个数是0。 点拨：一个数的立方根是唯一的，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，不注意这一点，往往容易出错。 例4 求下列各式中的x： （1）； （2）， 解：（1）∵，， ∴。 （2）两边开立方得， 即x+5=－3，∴x=－8。 点拨：本例实际上是解关于x的三次方程，两边开立方是解此类方程的最基本的方法。 ? 例5 已知，求x。 点悟：可将已知式化为，再开立方求出x。 解：， ∴，∴。 点拨：将此题改为“已知，求x。”我们也会解，只需由，得出即可。 ? 【同步达纲练习】 一、选择题 1．的平方根是 （ ） （A）±4 （B）2 （C）±2 （D）不存在 2．的平方根和立方根分别是 （ ） （A）±4， （B）±2， （C）2， （D）±2， 3．下列计算或命题中，正确的个数有 （ ） ①±4是64的立方根； ②； ③的立方根是4； ④。 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 4．要使有意义，则x应取 （ ） （A）x≠0 （B）x≠1 （C）x≥1 （D）x＞1 ? 二、填空题 5．若，则x=____________。 6．若，那么x=______________。 7．已知，则的值为_______________。