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我知道你――知道主体的逻辑（修改稿） 李小五 (中山大学逻辑与认知研究所，中山大学哲学系，广东 广州 510275) 摘要：首先，我们构造知道主体的系统KA，给出它的一些证明论结果。其次，我们引入关系语义，给出描述KA的特征公理的框架条件，证明KA相对这个框架条件是框架可靠的。最后，我们证明KA相对这个框架条件也是框架完全的。 关键词：知道主体的系统；关系语义；框架可靠性；框架完全性 中国分类号: B81 文献标识码: A 通常的动态逻辑在语形方面（相对公理化系统）没有独立刻画活动的逻辑性质（在语义方面，通常的动态逻辑用通达关系来表示活动，我们姑且算是独立刻画了活动）。例如，没有刻画像“我吃了”那样的句子。也就是说，相对活动?，它们只刻画了形如[?]?的句子，而这样的句子没有独立刻画活动?。至于像“我吃了”那样的句子（概括为“主体A做完活动?”，符号化为A?）有什么逻辑性质，这些逻辑没有揭示。而在我们看来，这是一类很重要的句子。 所以本文我们首先刻画A?的逻辑性质。同时我们还保留关于[?]?的逻辑性质，只不过我们把[?]?分解为当前所有主体A产生的[?A]?的合取（[?A]?直观表示“主体A做完活动?后产生结果?”），从而在某种意义上更精细地描述[?]?的语义，因为通常动态逻辑对[?]?的解释在我们看来是含混的，毕竟活动总是某个主体（充其量是某类主体）做的，而通常的动态逻辑对[?]?的语义刻画并没有揭示到底是哪些主体做了?。 本文主要解决的问题是如何刻画一个主体知道另一个主体。我们经常对别人说：“我知道你”。这句话是什么意思？我们理解为：我知道你的所作所为。所以，这里的“我知道你”有“我了解你”的含义。 你的所作所为如何从逻辑上刻画？我们的方案是把作为理解为活动，因此： （%）　“我知道你”，当且仅当，“我知道你做过的所有活动”。 根据这样的理解，我们把知道主体和主体做完活动这两个概念联系起来。用后者来定义前者。 据（%），我们理解的知道主体的“知道”的意义相当强，有浓厚的理想色彩，因为它要求知道对方做过的所有活动。 1 形式系统及其证明论 本文提到但未定义的概念和记号，请参见后面的参考文献［1］。 定义1.1　公式的形成规则 （1）本文我们总用Agent＝?A1, …, An?表示有穷个主体的集合。 （2）总用Act＝??0, ?1, …, ?n, …?表示可数无穷多个活动的集合。 （3）总用At表示可数无穷多个原子公式的集合。 （4）我们总用?, ?和?（加或不加下标）表示公式，其形成规则如下： 　　　p????(???)?[?A]??A??[?]??G??KA??KAB?KAG， 其中p是At中任意元素，A和B是Agent中任意元素，?是Act中任意元素，G是Agent的任意子集。 （5）所有公式的集合记为Form。┤ 说明： [?A]?的直观意义是：“‘A做完?后?真’是必然的”（It is necessary that A after executing ?, ? is true，见参考文献［2］第166页），或者“任何A做完?后都使?成立”（? holds after any A execution of action ?）。 A?的直观意义是： “主体A做完活动?”（The agent A has executed an action ?）。 G?的直观意义是： “一群主体G做完活动?”。 KA?直观意义是： “主体A知道命题?”。 KAB直观意义是： “主体A知道主体B”。 KAG直观意义是： “主体A知道主体群G”。 规定与缩写1.2 （1）联结符?，?和?的缩写定义如通常给出。另外，缩写定义 　 ??A??∷＝?[?A]??， ∧x?X x∷＝∧?x：x?X?（即把所有x使得x?X按任意固定次序合取起来）。 （2）为了叙述方便，我们规定联结符的结合力从左到右依次减弱： ?，[?A]，A，KA，[?]，G，?，?，?，?。 此外，我们规定同形联结符满足右向结合原则。例如，j?y?q表示j?(y?q)。 （3）T定义为p1??p1，? 定义为?T。 （4）我们用符号?表示“当且仅当”，用?表示“若…，则…”，用～表示“并非”。┤ 为了简洁和突出主题，下面我们引入一个较小的系统，保留进一步扩充的可能。 定义1.3 知道主体的系统KA定义如下：对所有??Act，?, ??Form，A?Agent和G?Agent， 公理（模式）： （TA） 所有重言式的代入特例， （K?A） [?A](???)?[?A]??[?A]?， （KA） KA(???)?KA??KA?， （TA） KA???， （A1） 　 A??([?A]???)， （A2）