《初等变换与等价矩阵.docVIP

第六讲 初等变换与初等矩阵 一、考试内容与考试要求 考试内容 矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价． 考试要求 （1）掌握矩阵的初等变换及用途； （2）了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． 二、知识要点 引入 由于初等行变换具有不改变线性方程组的解、初等变换不改变矩阵秩等特点，初等变换在线性代数课程的学习中占有重要的作用，它的应用贯穿了全课程的内容，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练．本讲通过对初等变换这个知识点的用途进行总结，学习相关内容． 1．初等变换与初等矩阵 线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组．线性方程组的同解变换有三种：① 交换两个方程的上下位置．② 用一个非0的常数乘某个方程．③ 把某个方程的倍数加到另一个方程上． 以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换． （1）初等变换 矩阵有以下三种初等行变换： ① 交换两行的位置； ② 用一个非0的常数乘某一行的各元素； ③ 把某一行的倍数加到另一行上．(称这类变换为倍加变换) ． 类似地，矩阵还有相应的三种初等列变换，初等行变换与初等列变换统称初等变换． 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵（行最简形）． 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是惟一的，但是其非零行数和台角位置是确定的．一个矩阵用初等行变换化得的行最简形是惟一的．行最简形矩阵应用最多，它的特点是：非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0． 注 ：表示初等变换：：表示初等行变换；：表示初等列变换；：将第行与第行进行对换，将第行各个元素的倍加到第行相应元素上；等等． （2）矩阵的等价 矩阵之间的关系有三种情形：等价、相似与合同．其中相似与合同分别在第十四讲和第十五讲中学习，这里首先学习矩阵的等价． 定义：矩阵经有限次初等变换得矩阵，则称矩阵与等价，记为． 的充分必要条件是下列任一条件： ① 存在可逆矩阵，； ② 与有相同的秩．其中、为同型矩阵； ③ 与有相同的等价标准形； ④ 存在初等矩阵，； 矩阵经有限次初等行变换得矩阵，则称矩阵与行等价，记为； 矩阵经有限次初等列变换得矩阵，则称矩阵与列等价，记为． 等价的性质 ① 反身性： ② 对称性：若，则 ③ 传递性：若，，则 由上面可得矩阵可逆的充分必要条件 ① ； ② 是它可表示成有限个初等矩阵的乘积； ③ 存在可逆矩阵，. （3） 初等矩阵 　 对单位矩阵实施一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵．初等矩阵有三种： ① 交换的行（或列）得到的初等矩阵，记为或； ② 的行（或列）乘以不为零的数得到的初等矩阵，记为或； ③ 的第行（或列）乘以数加到第行（或列）上得到的初等矩阵，记为或． （4） 初等矩阵的性质 利用行列式的性质，很明显有 ① ② （） ③ 由于初等矩阵的行列式不为零，故初等矩阵是可逆的，其逆为： ④ ⑤ （） ⑥ 证明 ⑥ = == ⑦ ⑧ （） ⑨ ⑩ ② （） ③ 证明 ⑩，其它类似可证明． 这些公式在解题时可直接用结论，不用计算．这样可简化运算，如利用有： 每一种初等变换都对应一种初等矩阵．对进行一次初等变换行（列）变换，相当于左（右）乘一个同类型的初等矩阵． 2．初等变换的用途 以初等变换的用途为例探讨这种角度的学习．这里总结了初等变换这个知识点的九种用途． （1）求解线性方程组或的解，即： 行最简形 （2）求矩阵的逆，即： 或 （3）求矩阵方程的解，当可逆时，有： （4）求矩阵的秩，即： 或化成行（或列）阶梯形，其中非零行（或列）的个数为秩． （5）求向量组的最大线性无关组，即： 行最简形 从行最简形得出向量组的最大线性无关组． （6）判断向量组的线性相关与线性无关性 由的解是非零解或惟一零解来判断向量组的线性相关与线性无关性： n维向量组 或由向量组的秩，来判断向量组的线性相关与线性无关性： 若，向量组线性相关；若，向量组线性相关． （7）判断向量是否可由向量组线性表示，即： 记=，需判断是否有解，即是否成立． （8）判断向量组与的等价，即： 记=，，则时两个向量组等价． （9）若行等价于，即，则，可求出： 或 ，则，可由求出。 （10）求矩阵特征向量 获得矩阵的特征值后，用初等变换求解齐次方程，得到特征向量． 三、基础训练 以下