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初等数论期末练习题 一、单项选择题 2、如果，则=（ ）. A B C D 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果,是任意整数,则 A B C ? D 5、不定方程（ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 11、因为( ),所以不定方程没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 二、填空题 1、有理数，，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设是一正整数，Euler函数表示所有( )，而且与（ ）的正整数的个数. 5、设整数，则（ ）=. 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、（ ）. 8、同余式有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数. 10、如果,则=( ). 11、的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果,那么=( ). 三、计算题 1、求24871与3468的最小公倍数? 2、求解不定方程.（8分） 3、求,其中563是素数. （8分） 4、解同余式.（8分） 5、求[525,231]=? 6、求解不定方程. 7、判断同余式是否有解？ 8、求11的平方剩余与平方非剩余. 四、证明题 1、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数.（11分） 2、证明当是奇数时，有.（10分） 3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分） 4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数. 5、如果是两个整数,,则存在唯一的整数对,使得,其中. 《初等数论》期末练习答案 一、单项选择题 2、C 3、A 4、A 5、A 6、B 8、A 9、A 11、B 二、填空题 1、有理数，，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式有解，而且解的个数为( 3 ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ). 4、设是一正整数，Euler函数表示所有( 不大于 )，而且与（ 互素 ）的正整数的个数. 5、设整数，则（ ）=. 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ 十进位 ）数码的和能被3整除. 7、（ ）. 8、同余式有解,而且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数. 10、如果,则=( ). 11、的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ). 12、如果,那么=( 1 ). 三、计算题 1、求24871与3468的最小公倍数? 解：因为 （24871,3468）=17 所以 [24871,3468]= =5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。 2、求解不定方程.（8分） 解：因为（107，37）=1，所以有解； 考虑， 有， 所以，原方程特解为=225，=-650， 所以通解为 3、求,其中563是素数. （8分） 解 把看成Jacobi符号,我们有 , 即429是563的平方剩余. 4、解同余式.（8分） 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 . 我们再解不定方程 , 得到一解(