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剩余类环上矩阵的秩 数学系 01数本 2001141121 蔡美丽 指导老师：陈智雄 摘要：定义了了剩余类环上矩阵的秩及剩余类环上矩阵的初等变换，证明了剩余类环上行列式的运算性质，提出了求矩阵秩的一个推论。 关键词：剩余类环；矩阵；秩；初等变换 引言 在高等代数中，一般都在数域（如有理数域、实数域）上讨论矩阵的性质。有限域上矩阵的性质可以类似讨论，但它们有一定的区别，因为有限域与数域的结构不相同。推广地，我们将讨论一般剩余类环（m是合数）上的矩阵的性质。可以看出，剩余类环（m是合数）上的矩阵的性质与数域、有限域上矩阵的性质有很大差别，因为（m是合数）是一个零因子环。表示环中的可逆元集合。 剩余类环上行列式的运算性质 命题1: 交换一个行列式的两行(列),行列式改变符号. 证:设行列式 交换第行与第行得 的每一项可写成 因为这一项的元素位于的不同行与不同的列,所以它也是的一项,反过来的每一项也是的一项. 在中的符号是而在中 为 与符号相反. 命题2: 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以该环上的一个可逆元素等于以该数乘以这个行列式. 证明:设把行列式的第行的元素乘以上的一个元,而得到行列式,那么的第行元素为 的每一项可以写作: 中对应的项可写作: 所以有: 推论1:如果一个行列式两行(列)完全相同,那么这个行列式为0. 证明:设行列式的第行与第行相同,由命题1,交换两行后,行列式改变符号,所以新的行列式等于;但另一方面,交换相同的两行,行列式并没有改变. 推论2:如果一个行列式有两行(列)的对应元素成比例,那么这个行列式为0. 证明:设行列式的第行与第行的对应元素成比例,那么这两行的对应元素只差同一因子,即: 因此有: 命题3:设行列式的第行的所有元素都可以表示两项的和. 则 的第行元素为；的第行元素为；其他行与一样. 证明: 的每一项可以写成,符号. 得到 一切项附上原有符号后的和等于行列式 一切附上原有符号后的和等于行列式 所以: 命题4:两个级行列式的乘积等于一个级行列式其中是的第行分别与的第列的对应元素乘积之和 即. 证明:作一个级行列式. 根据拉普拉斯定理,将按前行展开,则中前行除去左上角那个级子式外,其余的级子式全为0, 所以?= 下证:对作初等变换,将第行的倍,第行的倍, 第行的倍加到第一行,得 现依次将行的倍,第行的倍, 第2n行的倍加到第k行得到 这个行列式的前行也只可能有一个级子式不为0 由拉普拉斯定理: 命题得证. 定义1:设是环上矩阵中元素的代数余子式, 则矩阵称为的伴随矩阵. 由行列式按一行(列)展开的公式立即得出. 如果, 那么可得到: 2 矩阵的秩 定义2：设矩阵，若矩阵A中有一个r级子式不为0，而所有r+1级子式为0（如果的话），则称r为矩阵的秩。若矩阵A为零矩阵，则称矩阵A的秩为0 定义：设矩阵，下面的三种变换叫作矩阵的初等行（列）变换。 1).矩阵A的两行（列）互换位置。 2).矩阵A的某一行（列）乘以的一个元。 3).矩阵A的某一行（列）加与另一行（列）的乘积，为的一个元。 以上定义的（1）（3）与数域上的定义一致，但（2）中要求的是可逆元。 定理1：初等变换不改变矩阵的秩。 证：若是对一个矩阵A施行某一种行或列变换而得到矩阵B，那么对B施行同一种初等变换又可得到A；若是把A的第i行乘以上的一个可逆元而得到B，那么把B的第i行乘以（的可逆元）就又得到A；若是把A的第j行乘以加到第i行而得到B，那么把B的第j行乘以（）加到第i行就又得到A，列初等变换的情形完全一样。 用第二种初等变换证明定理。 设把一个矩阵的第i行乘以的一个元而得到矩阵B： 并且A的秩为r，我们要证明B的秩也是r，我们先证明B的秩不能超过r。 若是矩阵B没有阶数大于r的子式，那么它当然也没有阶数大于r的不等于0的子式。因而它的秩显然不能超过r。 设矩阵B有s阶子式D，而，有 (1). D不含第i行的情形，这时D也是矩阵A的一个s阶子式，而s大于A的秩r，因此D=0。 (2). D包含第i行的情形。这时 是矩阵A的一个s阶子式。为的一个元，D=0 所以在矩阵B有阶数大于r的子式的情形，B的任何这样的子式都等于0。而B的秩也不能超过r，即秩秩，同样对B施行第二种初等行变换，可得到矩阵A，即有：秩 秩，所以：秩A=秩B。列变换的情形一样. 用第三种初等变换证明定理： 设把一个矩阵A的第j 行乘以数k加第i行而得到矩阵B， 并且秩A=r，同上面一样的证明方法，我们先证明B的秩不能超过r。 一样地，若是矩阵B没有阶数大于r的子式，那么它当然也没有阶数大于r的不等于零的子式，因而它的秩显然不能超过r，设矩阵B有s阶子式D，而，有三种