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《数学奥赛教练员培训班讲义平面几何
数学奥赛教练员培训班讲义(1)
第一讲 平面几何
平面几何是数学竞赛中的一个基本内容。它以严密的逻辑结构、灵活的证题方法,在发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力等方面起着特殊的作用。因此在数学竞赛中平面几何的内容占有十分突出的地位。平面几何主要研究度量关系的证明、位置关系的证明、面积关系解题、几何量的计算、轨迹问题等。
一、与三角形有关的重要定理
1.梅涅劳斯定理
一直线分别截△ABC的边BC、CA、AB(或
其延长线)于D、E、F,则。
说明:(1)结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况,
因而本题图形应该有两个。
(2)结论的结构是三角形三边上的6条线段的比,首尾相连,
组成一个比值为1的等式。
(3)其逆定理为:如果D、E、F分别在△ABC的边BC、CA、AB(或其延长线上),并且,那么D、E、F三点在同一条直线上。
(4)梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题,而且是解决许多比例线段问题的有力工具。用梅氏定理求某个比值的关键,在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏线。
2.塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点,AO、BO、CO分
别交对边于D,E,F,则。
说明:(1)该定理可借助于梅氏定理来证明(也可用面积法来证明)。如果O点在三角形外,结论仍然是成立的。
(2)其逆定理为:分别在△ABC三边(所在直线)BC、CA、AB上各取一点D、E、F,若有,则AD、BE、CF平行或共点。
(3)塞瓦定理及其逆定理是证明三直线交于一点(线共点)问题的重要定理,应用塞瓦定理很容易证明三角形中的主要线段的共点问题。
3.三角形的五心
三角形的三条中线共点,三条角平分线共点,三条高线共点,三条中垂线共点。三角形的垂心、重心、外心共线(欧拉线),并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。三角形的外心和内心的距离。此公式称为欧拉式,由此还得到。当且仅当△ABC为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R和r分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。
与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆,旁切圆的圆心称为旁心。
二、与圆有关的重要定理
4.四点共圆的主要判定定理
(1)若∠1=∠2,则A、B、C、D四点共圆;
(2)若∠EAB=∠BCD,则A、B、C、D四点共圆;
(3)若PA?PC=PB?PD,则A、B、C、D四点共圆;
(4)若AB?DC+AD?BC=AC?BD,则A、B、C、D四点共圆。
5.西姆松定理
过三角形外接圆上任意一点作三边的垂线,
则三垂足共线(称为西姆松线)。
说明:(1)其逆定理为:若一点到三角形三边
所在直线的垂足共线,则该点在三角形的外接圆上。
(2)推广(卡诺定理):通过△ABC外接圆上的一点
P引与三边BC、CA、AB分别成同向等角的直线PD、PE 、PF,分别与三边交于D、E、F,则D、E、F三点共线。
6.托勒密定理
若四边形内接于一圆,则该四边形的两对边乘积之和
等于它的对角线乘积。
说明:(1)其逆定理为:若四边形两对边乘积之和等于
它的对角线乘积,则该四边形内接于圆。
(2)推广(托勒密不等式):对于任意凸四边形ABCD,恒有两对边乘积之和大于或等于它的对角线乘积。
三、典例
例1. 已知△ABC为等腰直角三角形,∠C为直角,延长CA到D,以AD为直径作圆O,边BD与圆O交于点E,连CE,CE的延长线交圆O于另一点F,那么=( )
A.1 B. C. D.2
例2. (08年联赛)如图,设,,为三角形的三条高,若,,,则线段的长为 ( )
. 4. . .
例3. 三角形ABC为锐角三角形,AD为该三角形的一条高.设P为线段AD上一点,直线BP、CP分别交AC、AB于点E、F,证明:DA平分∠EDF。
例4. 设A,B,C顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA,PC,PB上的点,线段AC,CB对点P的张角分别为α,β,且α+β180°,则A,B,C三点共线的充要条件是:
.
例5. 设△ABC是等边三角形,P是其内部一点,线段AP、BP、CP的延长线依次交三边BC、CA、AB于A1、B1、C1三点.
证明:A1B1·B1C1·C1A1≥A1B·B1C·C1A.
例6.(蝴蝶定理) 已知M是⊙O的弦AB的中点,过M任作两弦CD,EF,
连CF,DE分别交AB于G,H,求证:MH=MG.
例7. 在△ABC的AC边上取点D、E,使得AD=AB,BE=EC(E在A与D之间),
F是△ABC外接圆上(不含A点的)BC弧的中点.证明:B、E、D、F四点共
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