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1、圆幂定理 圆幂=PO^2-R^2| 　　所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 　　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 　　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 　　割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。 　　统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。 进一步升华（推论） 　　过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值） 　　若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 　　故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。（这就是“圆幂”的由来） 证明 圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）定义　圆内接六边形的三双对边(所在直线)的交点共线。这条直线称为该六边形的帕斯卡线。因法国数学家帕斯卡发现而得名。 定义的推广 　本定理可推广为：圆锥曲线内接六边形的三双对边(所在直线)的交点共线。定义 　　三角形外接圆上一点作三边的垂线，则其三垂足共线，此线称为西摩松线 按照以下的指示，画出西摩松线。 　　1． 画一个圆及圆内接三角形ABC。 　　2． 在圆周上任选一点P。 　　3． 分别画出垂直于AB、BC、AC的线段PX、PY、PZ。 　　4． 将X、Y、Z三点连起来，此线即为西摩松线。 证明 　　已知：ΔABC外接圆上有一点P，过P向三边所在直线作垂线，垂足分别是X、Y、Z， 　　求证：X、Y、Z三点共线。 　　证明： 如图，连接PB、PC 　　因为BYP＝BXP＝90° 　　所以B、Y、P、X四点共圆 　　所以BYX＝BPX 　　同理C、Z、Y、P四点也共圆 　　所以ZYC＝CPZ 　　在ΔBXP和ΔCZP中 　　BXP＝90°＝CZP，PBX＝PCZ 　　所以BPX＝ZPC 　　所以BYX＝ZYC 　　因为BYX＋XYC＝180° 　　所以ZYC＋XYC＝180° 所以X、Y、Z三点在同一条直线上费马大定理： 当整数n 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 无正整数解。相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等） 西姆松定理图示 西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 　　相关的结果有： 　　（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 　　（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 　　（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 　　（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 证明 　　证明一： ABC外接圆上有点P，且PEAC于E，PFAB于F，PDBC于D，分别连DE、DF. 　　易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是FDP=∠ACP ①，（都是ABP的补角） 且PDE=∠PCE 　　 而ACP+∠PCE=180° 　　FDP+∠PDE=180° 　　 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 　　证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分别四点共圆，有 　　PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 　　故A、B、P、C四点共圆。 　　若A、B、P、C四点共圆，则PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有 　　PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 　　故L、M、