《数理逻辑MathematicalLogic.doc

2.数理逻辑 Mathematical Logic命题逻辑proposition logical 2.1.1命题和命题联结词 2.1.1.1命题statement： 可以判断真假的陈述. (1) 地球是圆的。p (2) 2+3=5. q (3) 你说英语吗？ (4) 3-X=5. (5) 吃两片阿斯匹林！ (6) 土星表面温度是华氏800度。r (7) 明天会出太阳。s 可以用符号表示命题: p,q,r,s,t 分别表示命题 （1）（2）（6）（7）。 2.1.2复合命题 compound statement: 用逻辑连接词可以将若干命题联接成复合命题。 (1) 地球是圆的并且2+3=5. p∧q (2) 土星表面温度不是华氏800度。~r (3) 因为地球是圆的，所以明天会出太阳。p→s (4) 明天不会出太阳，除非2+3=5。即，明天不会出太阳或2+3=5。 ~s∨q （5）明天出太阳，只要2+3=5。 q→s (6) 明天出太阳，仅当2+3=5。 s→q 2.1.1.3条件命题conditional statements p→q implication p 前提antecedent, hypothesis. q 结论consequent, conclusion. 逆命题converse of the implication q→p 逆否命题 contrapositive of the implication ~q→~p p→q ? ~q→~p 2.1.命题变元propositional variable 可以代表任意以一个命题的变元符号 p,q,r,s，… p1,p2,p3，… 2.1.逻辑连接词logical connectives 否定negation ~ ~p 合取 conjunction ∧ p∧q 析取 disjunction ∨ p∨q 蕴含 implication → p→q 等价equivalence, biconditional ? p?q 联结词的真值表truth table p q ~p p∧q p∨q p→q p?q 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 2.1.2命题公式 propositional formulas 递归定义 （1）单个命题变元是命题公式。 （2）如果A, B是命题公式，则(~A), (A∧B), (A∨B), (A→B), (A?B) 都是命题公式。 例 A=((p∧(~q)) →(((~p)∨q) ∧q)) 是命题公式. 可以省略最外层的括号: A=(p∧(~q)) →(((~p)∨q) ∧q). 规定命题连接词的优先级： ~，∧，∨，→，?，左边高于右边。 命题A可以化简为： A= p∧~q →(~p∨q) ∧q. A可以记作A(p,q)，p, q是A中变元. 2.1.2.2命题变元p1,p2,…,pn的赋值 σ(p1,p2,…,pn) σ(p1,p2,……,pn)=(0,1,1,0,…,1) 也记作 p1σ=0, p2σ=1, p3σ=1, p3σ=0,……, pnσ=1, 一个赋值对应于命题变元的一种真假取值。n个变元共有2n种不同的赋值。 例. 令赋值σ(p1,p2,p3)=(0,1,0), 计算命题公式 A= p∧~q →(~p∨q) ∧q, B= p→(q→r) 的赋值 Aσ= ((p∧~q →(~p∨q) ∧q)) σ = 0∧~1 →(~0∨1) ∧0)=1 Bσ=pσ→(qσ→rσ)=0→(1→0)= 1 2.2.3命题公式的真值表 truth table of propositions A的真值表 p Q ~p ~q p∧~q ~p∨q (~p∨q) ∧q p∧~q →(~p∨q) ∧q 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 2