《单位菱形面积定义正弦.doc

重建三角，全局皆活 2010年5月29日 发表评论 阅读评论 本文标题引用了中国科学院院士张景中教授的文章《重建三角，全局皆活——初中数学课程结构性改革的一个建议》。今天无意间又找出这篇文章，读了个痛快！ 记得2007年5月份，我接到了一个任务，按张院士文章内容上一节课。要录像，要给张院士看。我欣然答应。 张院士的文章重建了三角函数的理论体系，三角函数的定义发生了根本的变化，“把边长为1，有一个角为A的菱形面积记作sinA”。由这个定义居然能推导出以下一些结论，有些内容连小学生都听得懂： 1、三角形面积 2、正弦的基本性质（1）sin0°=sin180°=0;（2）sin90°=1;（3）sinA=sin(180-A) 3、直角三角形中锐角的正弦 4、正弦定理 5、正弦和角公式?? sin(α+β)=sinαsin(90°-β)+sinβsin(90°-α) 6、二倍角公式? sin2A=2sinAsin(90°-A) 7、特殊角的正弦值（1）；（2）；（3） 8、几何定理（1）直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半；（2）勾股定理 9、正弦的增减性 10、三角形两边之和大于第三边 这么多的内容，一节课里选什么内容好呢？我选了“正弦定义”、“三角形面积公式”、“正弦的性质”、“特殊角的正弦值”、“直角三角形中锐角的正弦”五个知识点。当时上的班级是初一，结果因抽象程度太高，学生理解困难，练习题不会做。 我佩服张景中院士的智慧，谁能打破三角函数原有的体系？又有谁能建立新的体系?唯有景中！而且三角函数原有的性质、定理、公式一概不变，也就是“全局皆活”。但是，这样构建新体系好处在哪里？我不清楚。学生学习会遇到什么困难？我可以肯定学生遇到的困难比原来要多，低年级（如初一）的学生会有更多的困难。所以教材编写者不敢轻举妄动，还是袭用原来体系。 下面是我这节课的教案，发表于此，以飨读者。 一、认识正弦 同学们，我们都知道边长为1的正方形面积为1，如果把一个直角变为α，就成为一般的菱形，其面积就不是1了，究竟为多少呢？我们不知道，但肯定与α有关。我们不妨记作sinα。即一个角为α的菱形面积定义为sinα。 如果α=30°，面积=sin30°等。 当正方形ABCD的边长不是1时，设它的面积为S，变成一个角为α的菱形面积为s，我们可以证明s/S=sinα。 上图中假设AB=3，则可以将正方形划分成9个单位正方形，菱形也如此，每个单位菱形与单位正方形的比都是sinα，所以s/S=sinα。 将上述问题中的正方形改为矩形，设矩形的面积为S，变成一个角为α的平行四边形面积为s，我们同样可以证明s/S=sinα。 这就说明将一个矩形的一个直角边成α后，面积是原来的sinα倍。张奠宙教授形象地说：? 一个长方形（含正方形），不改变其边长，当直角变为α时，面积所打的折扣是sinα。他将sinα比作“折扣”，非常形象非常贴切。从上图我们还可以看出，设AB=a，AD=b，∠A=α，则。 二、? 与正弦有关的面积公式 1、? 边长分别为a、b，一个内角为α的平行四边形ABCD的面积是absinα； 2、? 两边分别为a、b，夹角为α的三角形面积是. 三、? 正弦的性质 认识了正弦之后，我们不难得到正弦的性质。当α=0°或180°时菱形的面积为0，所以sin0°=sin180°=0，这里列举性质如下： 1、sin0°=sin180°=0 2、sin90°=1 3、sinα°=sin(180-α)° 4、? 当α为锐角时，α越大sinα就越大；当α为钝角时，α越大sinα就越小。 练习一 1、? 用计算器求值：sin30°，sin40°，sin45°，sin120°. 2、边长分别为2、4，一个内角为30度的平行四边形ABCD的面积是??????????????????? 。 3、两边分别为6、5，夹角为45度的三角形面积是??????????????????? 。 4、在括号内写出角的度数，使等式成立sin40°=sin（??? ），sin170°=sin（??? ）. 四、正弦再认识 如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，那么有==，化简后得。 即? 在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边之比。 练习二 1、如上图，△ABC中∠C=90。，BC=6，sinA=0.6，求AB的长。 2、在第1题中如果AC=8，求sinB。 练习三 1、比较大小 (1)Sin30°????????? sin80° (2)sin100°????????? sin140° 2、二块全等的含有45°的三角板如图放置，则红色部分的两个三角形面积是否相等？为什么？ 相关文章: