《可测集.docVIP

浅谈可测集的结构 摘要 实变函数论是普通微积分的继续,其目的是想克服牛顿和莱布尼茨所建立微积分学所存在的缺点,使得微积分的运算更对称更完美.可测集是实变函数中基本而重要的概念之一.内外测度相等的有界点集称为勒贝格可测集（简称可测集）.本论文就是通过介绍可测集的定义,性质以及可测集与开集,闭集,博雷尔集的关系,用他们刻画出开集可以从外部逼近可测集,闭集可以从内部逼近可测集,博雷尔集挖掉一个零集或者并上一个零集等于可测集. 关键词 可测集 开集 闭集 博雷尔集 1 引言 可测集是实变函数中基本而重要的概念之一,本论文就是通过介绍可测集的定义,性质以及可测集与开集,闭集,博雷尔集的关系,用他们刻画出任何可测集可以由开集从外部逼近,闭集从内部逼近,博雷尔集挖掉一个零集或者并上一个零集. 2 可测集的有关定义、性质以及实例 2.1 可测集的有关定义 定义1 (点集的外测度) 设为中任一点集,对于每一列覆盖的开区间,作出它的体积总和 ,(可以是.今后把、看成广义实数).所有一切的组个下方有界的数集,它的下确界称为的外测度,并记为 ,有 定义2 （可测集）若有（Caratheodory条件）,则称为可测集,此时的外测度称为的测度,记作. 开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集,但此方法对处理问题很不方便,故我们采用上述方法. 定义3（型集）设集合可以表示为一列开集的交集：, 则称是型集. 定义4(型集) 集合可以表示为一列闭集的并集: ,则称是型集. 定义5 (集) 从开集出发,经过至多可数次交、并或补运算得到的集合称为集. 2.2 可测集的性质 定理1 若 可测,则下述集合也可测即可测集类关于差,余,有限交和可数交,有限并和可数并,以及极限运算封闭； 若则,有 注 上式由前面可测集的等价刻画立刻可得. 证明 1）由于A可测,则 2）只要证有 由于A可测,B可测,则 而 所以 即可测. 3）则可测. 4） 则可测. 定理2 可测, ,且 证明 用数学归纳法 1）当时显然成立; 2）假设时命题成立则当时令则 于是 = = = 所以结论成立. 定理3 可测, ,且则 证明 在上性质的证明中令即得. 定理4 若可测,则有可减性 证明 ,又所以 定理5 设可测,则可测,可测. 证明 只要证 ,令 令 所以可测又 = 可测. 定理6 设可测（）且 则,,有 = 证明 令 于是, = 令有 反之 则结论得证. 定理7 设可测（）且则 证明 有 从而 （*） 另外显然有 从而可测,并用代入（*）式,即得结论. 例1设中可测集满足条件,则必有正测度. 证明 2.3 可测集的实例 例2 零集一定是可测集. 证明 设,则任意,于是 例3 开集和闭集都是可测集. 证明 因为任何非空开集可表示为可数多个互不相交的左开右闭区间的并.而区间是可测的,开集既是可测的,则闭集作为开集的余集自然可测. 例4 型集与型集是可测集. 例5 集是可测集. 例6 集是可测集. 3 可测集的结构 引理 中任何可测集都可表为至多可列个互不相交的有界可测集的并. 引理的意义在于当我们讨论无界可测集的性质时,可将其分解而转化为有界可测集的情形来讨论. 证明 设为中任一可测集.令 其中表示中的坐标原点,则可测.令,则是有界可测集且彼此互不相交,而且. 3.1开集逼近 定理8 点集可测的充要条件是对任意,恒有开集,使 . 证明 必要性设可测,有引理可设,,,（）可测且,对任意的及每个,由测度定义,有一开区间列,使得,且 令,则为开集,,且 因此（注意,这里用到了）令 ,则 为开集且 ,又因为 = 于是,注意到 为可测集,我们有 充分性 由条件知,对任意自然数 ,有开集 ,使得 令 ,则 , 可测集,且 由 的任意性得 ,从而 可测. 又因 ,所以 因此为可测集. 推论1 对任一可测集 ,恒有 型集 ,使得. 证明 对,由定理1知,存在开集,使得. 令,则为型集,,并且 由的任意性得 3.2 闭集逼近 定理9 点集可测的充要条件是对任意 ,恒有闭集,使. 证明 利用定理1的结果即可得到此定理的结论.事实上,因为 可测的充要条件是可测,再由定理1知,可测的充要条件是对任意 ,存在开集,使 但 ,只要令,则显然为闭集且,,这就证明了此定理. 以上两个定理揭示了可测集与开集、闭集间的内在联系. 定理1说明开集