《向量组的线性相关性.docVIP

第四章　向量组的线性相关性 1．设, 求及. 解 2．设其中, ,,求. 解 由整理得 3? 已知向量组 A? a1?(0? 1? 2? 3)T? a2?(3? 0? 1? 2)T? a3?(2? 3? 0? 1)T? B? b1?(2? 1? 1? 2)T? b2?(0? ?2? 1? 1)T? b3?(4? 4? 1? 3)T? 证明B组能由A组线性表示? 但A组不能由B组线性表示? 证明 由 知R(A)?R(A? B)?3? 所以B组能由A组线性表示? 由 知R(B)?2? 因为R(B)?R(B? A)? 所以A组不能由B组线性表示? 4? 已知向量组 A? a1?(0? 1? 1)T? a2?(1? 1? 0)T? B? b1?(?1? 0? 1)T? b2?(1? 2? 1)T? b3?(3? 2? ?1)T? 证明A组与B组等价? 证明 由 ? 知R(B)?R(B? A)?2? 显然在A中有二阶非零子式? 故R(A)?2? 又R(A)?R(B? A)?2? 所以R(A)?2? 从而R(A)?R(B)?R(A? B)? 因此A组与B组等价? 5? 已知R(a1? a2? a3)?2? R(a2? a3? a4)?3? 证明 (1) a1能由a2? a3线性表示? (2) a4不能由a1? a2? a3线性表示? 证明 (1)由R(a2? a3? a4)?3知a2? a3? a4线性无关? 故a2? a3也线性无关? 又由R(a1? a2? a3)?2知a1? a2? a3线性相关? 故a1能由a2? a3线性表示? (2)假如a4能由a1? a2? a3线性表示? 则因为a1能由a2? a3线性表示? 故a4能由a2? a3线性表示? 从而a2? a3? a4线性相关? 矛盾? 因此a4不能由a1? a2? a3线性表示? 6? 判定下列向量组是线性相关还是线性无关? (1) (?1? 3? 1)T? (2? 1? 0)T? (1? 4? 1)T? (2) (2? 3? 0)T? (?1? 4? 0)T? (0? 0? 2)T? 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A? 因为 ? 所以R(A)?2小于向量的个数? 从而所给向量组线性相关? (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B? 因为 ? 所以R(B)?3等于向量的个数? 从而所给向量组线性相无关? 7? 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1?(a? 1? 1)T? a2?(1? a? ?1)T? a3?(1? ?1? a)T? 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A? 由 知? 当a??1、0、1时? R(A)?3? 此时向量组线性相关? 8? 设a1? a2线性无关? a1?b? a2?b线性相关? 求向量b用a1? a2线性表示的表示式? 解 因为a1?b? a2?b线性相关? 故存在不全为零的数?1? ?2使 ?1(a1?b)??2(a2?b)?0? 由此得 ? 设? 则 b?ca1?(1?c)a2? c?R? 9? 设a1? a2线性相关? b1? b2也线性相关? 问a1?b1? a2?b2是否一定线性相关？试举例说明之? 解 不一定? 例如? 当a1?(1? 2)T, a2?(2? 4)T, b1?(?1? ?1)T, b2?(0? 0)T时? 有 a1?b1?(1? 2)T?b1?(0? 1)T, a2?b2?(2? 4)T?(0? 0)T?(2? 4)T? 而a1?b1? a2?b2的对应分量不成比例? 是线性无关的? 10．举例说明下列各命题是错误的: (1) 若向量组是线性相关的,则可由线性表示. (2) 若有不全为0的数使 成立, 则 线性相关, 亦线性相关. (3) 若只有当全为0时,等式 才能成立,则 线性无关, 亦线性无关. (4) 若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数, 使 同时成立. 解 (1) 设, 满足线性相关, 但不能由 线性表示. (2) 有不全为零的数使 原式可化为 取 . 其中为单位向量,则上式成立,而 ,均线性相关. (3) 由 (仅当) 线性无关