《唐一良平面几何.docVIP

2012年高中数学竞赛——平面几何攻略 江苏省扬州中学 唐一良 第一部分【几个著名定理】 例1．以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与AB、AC交于点D和E，分别过D、E作BC的垂线，垂足依次为F、G，线段DG和EF交于点M，求证：AM⊥BC（IMO-37国家队选拔题） 例2. 如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等． 例4．若两个三角形的对应顶点的连线交于一点，则对应边所在的直线交点必共线。（笛沙格定理） 第二部分【三角形五心研究】 例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上. 例2．设圆O是△ABC的内切圆，BC，CA，AB上的切点各是D，E，F，射线DO交EF于A‘，同样可得B‘，C’，试证：直线AA‘，BB’，CC‘共点。 例3．设△ABC的三条高线为AD，BE，CF，自A，B，C分别作AKEF于K，BLDF于L，CNED于N，证明：直线AK，BL，CN相交于一点。 例4．在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A的平分线AD交△ABC的外接圆于K，△ABC的外心，内心分别是O，I，求证：OIAK。 例5．设点M是△ABC的边BC的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直线IM与AH的交点，求证：AE等于内切圆半径r。 例6．设圆O是△ABC的BC边外侧的旁切圆，D，E，F分别是圆O与BC，CA，AB所在直线的切点，若OD与EF相交于K，求证：AK平分BC。 例7．在中，，ABAC，点O是外心，两条高BE，CF交于H点， 点M，N分别在线段BH，HF上，且满足BM=CN，求的值。 第三部分【圆的研究】 例1．(Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr．(1992年江苏省数学竞赛) 例2. 设点P是⊙O外一点，PAB，PCD是两条割线，AD，BC交于点Q，延长BD，AC交于点R，求证：=P的幂+Q的幂；=P的幂+R的幂. 【两个典型模型】：⊙O的内接四边形ABCD中，AB，DC延长后交于点E，AD，BC延长后交于点F，AC，BD交于点P（不与O重合），证明：OP⊥EF，并讨论四边形ABCD是圆外切四边形的情形。 例3.设D，E是DABC中AB，AC上的点，求证：以BE和CD为直径的两圆的根轴必通过DABC的垂心。 例4.如图，已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。（97年高中数学联赛试题） 例5．四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC延长交于点P，AD、BC延长交于点Q，由Q作该圆的两条切线QE、QF，切点分别为E、F，求证：P、E、F三点共线．(1997年中国数学奥林匹克） 第四部分【从调和点列到完全四边形到Apollonius圆到极线极点】 例1如图，过圆O外一点P作其切线PA、PB，OP与圆和AB分别交于I、M，DE为过M的任意弦。求证：I为△PDE内心。（2001年中国西部数学奥林匹克） 例2如图，△ABC中，AD⊥BC，H为AD上任一点，则∠ADF=∠ADE（1994年加拿大数学奥林匹克试题） 例3如图，完全四边形ABCDEF中，GJ⊥EF与J，则∠BJA=∠DJC（2002年中国国家集训队选拔考试题） 例4.已知：△ABC内角平分线BE、CF交于I，过I做IQ⊥EF交BC于P，且IP=2IQ。求证：∠BAC=60° 例5. P为圆O外一点，PA、PB为圆O的两条切线。PCD为任意一条割线，CF平行PA且交AB于E。求证：CE=EF（2006国家集训队培训题） 例6.过锐角的顶点A，B，C的三条高分别交对边于点D，E，F，过点D平行于EF的直线分别交AC，AB于点Q，R，直线EF交BC于点P，求证：PQR的外接圆过BC的中点。 例7.在ABC中，经过点B，C的圆与边AC，AB的另一个交点分别为E，F，BE与CF交于点P，AP与BC交于点D，M是边BC的中点，D，M不重合，求证：D，M，E，F四点共圆。 例8.凸四边形ABCD内接于⊙O，延长AB，DC交于点E，延长BC，AD交于点F，AC，BD交于点P，直线OP交EF于点G，求证： 例9.以锐角PAB的边AB为直径作半圆交PA于点E，交PB于点D，直线AB与ED交于点Q，AD与BE交于点C，直线PC交A