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第5章 三维图形变换 本章要解决的问题（3个）： ?如何对三维图形进行方向、 尺寸和形状方面的变换 ?如何进行投影变换 ?如何方便地实现在显示设备上对三维图形进行观察 三维图形变换 教学目标: 一、总体目标：掌握三维图形学的基本思想，理解三维观察的基本原理。 二、通过本章的学习，应能做到： 掌握下列概念：三维平移、旋转、缩放变换。 掌握理解三维图形的平移变换，比例变换，对称变换，旋转变换，复合变换。 了解形体的投影变换：正平行投影，斜平行投影。 三维图形变换 三、重点难点： 重点：三维图形的平移变换，比例变换，对称变换，旋转变换，复合变换。 难点：理解三维复合变换。 四、外语词汇： Translation，Rotation，Scale，Mirror 五、作业与上机练习： 课本：P146（3、5）上机。其他练习。 5.1 三维图形几何变换矩阵 ■三维齐次坐标变换矩阵 ■几何变换 图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。 ?点的矩阵变换 ?线框图的变换 ?用参数方程描述的图形的变换 ■平面几何投影 投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形。 平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图。 观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变换。 投影中心、投影面、投影线：? 平面几何投影可分为两大类： 透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的 平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的 ■观察投影 5.2 三维图形基本变换矩阵 ■三维基本几何变换 ?三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换。 ?假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后为p(x,y,z)。 平移变换 比例变换 例：对如图5-6所示的长方形体进行比例变换，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体各点坐标。 ? 举例计算2点 旋转变换 绕z轴旋转 绕x轴旋转 绕y轴旋转 对称变换 错切变换 逆变换 所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换 ■三维复合变换 相对任一参考点的三维变换 相对于参考点F(xf,yf,zf)作比例、旋转、错切等变换的过程分为以下三步： (1)将参考点F移至坐标原点 (2)针对原点进行三维几何变换 (3)进行反平移 例：相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换 绕任意轴的三维旋转变换 问题：如何求出为TRAB。? 类似地，针对任意方向轴的变换的五个步骤： ①使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平移变换。 ②使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换，且旋转变换可能不止一次。 ③针对该坐标轴完成变换。 ④用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。 ⑤用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。 5.3图形的投影变换5.3.2 平行投影 平行投影可分成两类：正投影和斜投影。 ■正投影 正投影又可分为：三视图和正轴测图。 当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图；否则，得到的投影为正轴测图。? 三视图 包括主视图（xoz面）、侧视图（yoz面）和俯视图（xoy面）三种。 三视图的计算步骤： (1) 确定三维形体上各点的位置坐标。 (2) 引入齐次坐标，求出所作变换相应的变换矩阵。 (3) 将所作变换用矩阵表示，通过运算求得三维形体上各点(x,y,z)经变换后的相应点(x,z),(x,y)或(y,z)。 (4) 由变换后的所有二维点绘出三维形体投影后的三视图。? 主视图的变换矩阵： 俯视图的变换矩阵： 于是得： 侧视图的变换矩阵： 于是得： 正轴测图 若将空间立体绕某个投影面所包含的两个轴向旋转，再向该投影面做正投影，即可得到立体正轴测图。通常选xoz面为轴测投影面。 等轴测：投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等 正二测：投影面与两个坐标轴之间的夹角相等 正三测：投影面与三个坐标轴之间的夹角都不相等 公式推导： (1) 先绕z轴正向（逆时针）旋转α角 (2) 再绕x轴反向（顺时针）旋转β角 (3) 将三维形体向ZOX平面作正投影? 最后得到正轴测图的投影变换矩阵 正等测图： 将α和β的值代入T得到正等测图的投影变换矩阵： 正二测图： ■斜投影 即斜轴测图，是将三维形体向一个单一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面图形。 常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。 斜轴测图的形成: 通常β取30°或45°。 对于斜等测图有：α=45?,ctgα=1