〈新〉计算机图形学chap6 二维变换及二维观察.ppt

6.2 齐次坐标 齐次坐标 将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。 例如：向量(x1, x2, …, xn)的齐次坐标表示为(Hx1, Hx2, …, Hxn, H), 其中H是一个不为0的实数。 H=1的齐次坐标称为规范化齐次坐标； 反之：由点或向量的齐次坐标(Hx1, Hx2, …, Hxn, H)，求它的规范化齐次坐标, 可根据如下公式求得 x1= Hx1/H,x2= Hx2/H,… xn= Hxn/H 齐次坐标表示法的优点 将平移、旋转、缩放等变换同统一的方式表示 7.2 二维几何变换的齐次坐标表示 恒等变换 平面图形的恒等变换保持原图形的大小、形状、位置不变, 其变换矩阵为： 1 0 0 设：P‘= x’ y 1 = x y 1 0 1 0 Tx Ty 1 令： T(Tx,Ty)= 1 0 0 0 1 0 Tx Ty 1 记：P=P*T(Tx,Ty) Tx，Ty称为平移矢量。 ①沿X方向关于Y轴的错切 矩形p1p2p3p4沿X方向错切变换，得到矩形p1p2p3’p4’， 错切角θ，点(x,y)变换为： x’=x+y*tan(θ)，y’=y 令：shx=tan(θ) 记：x’ y’ 1 = x y 1 1 0 0 shx 1 0 0 0 1 ②沿Y方向关于X轴的错切 矩形p1p2p3p4沿Y方向错切变换，得到矩形p1p2’p3’p4,错切角θ，点(x,y)变换为： x’=x，y’=y+x*tan(θ) 令：shy=tan(θ) 记：x’ y’ 1 = x y 1 1 shy 0 0 1 0 0 0 1 ③沿两个方向的错切 x’=x+y*tan(α) y’=y+x*tan(θ) 令： shx=tan(α) 、shy=tan(θ) 记：x’ y’ 1 = x y 1 1 shy 0 shx 1 0 0 0 1 矩阵相乘是符合结合律，但不符合交换律。 A·B·C=(A·B)·C= A·(B·C) A·B≠B·C 在连续的同种变换的特殊情况下，矩阵相乘可以符合交换律。 二次连续旋转，可以用任意顺序进行； 连续的平移或连续的比例变换可以交换； 两向相同（Sx=Sy）的比例变换与旋转变换可以交换。 相对于任一固定点的比例变换 则： P’=P·{T(-xA,-yA)·S(sx,sy)·T(xA,yA)} 记：SA(sx,sy)= T(-xA,-yA)·S(sx,sy)·T(xA,yA) ∴ = 1 0 0 sx 0 0 1 0 0 = sx 0 0 0 1 0 0 sy 0 0 1 0 0 sy 0 -xA -yA 1 0 0 1 xA yA 1 xA(1-sx) yA(1-sy) 1 围绕任一基准点的旋转变换 则： P’=P·{T(-xA,-yA)·R(θ)·T(xA,yA)} 记：RA(θ)= T(-xA,-yA)·R(θ)·T(xA,yA) ∴ = 1 0 0 cosθ sinθ 0 1 0 0 0 1 0 -sinθ cosθ 0 0 1 0 -xA -yA 1 0 0 1 xA yA 1 = cosθ sinθ 0 -sinθ cosθ 0 xA(1-cosθ)+yA sinθ yA(1-cosθ)-xAsinθ 1 例1 错切变换 矩形P1P2P3P4沿X轴、Y轴双向错切。 设：tan(θ)=2,tan(Φ)=1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0·2 1 0· 0 1 0 =2 1 0 1 1 1 0 0 1 -1-1 1 2 1 1 例2 组合变换平面图形变换举例 设△P1P2P3的三个顶点分别为： P1(10,20), P2(20,20), P3(15,30), 它绕点Q(5,25)逆时针方向旋转30°。它的复合变换由如下三种变换