〈新〉计算机图形学课件——fifth1.ppt

计算机图形学演示稿 纪玉波制作(C) 信息工程学院 费赓柢 * 第五章 图形变换 在计算机绘图应用中，经常要进行从一个几何图形到另一个几何图形的变换，例如，将图形向某一方向平移一段距离；将图形旋转一定的角度；或将图形放大或缩小等等，这种变换过程称为几何变换。图形的几何变换是计算机绘图中极为重要的一个组成部分，利用图形变换还可以实现二维图形和三维图形之间转换，甚至还可以把静态图形变为动态图形，从而实现景物画面的动态显示。 5.1 二维图形变换 5.1.1二维图形几何变换的基本原理 二维平面图形的几何变换是指在不改变图形连线次序的情况下，对一个平面点集进行的线性变换。实际上，由于一个二维图形可以分解成点、直线、曲线。把曲线离散化，它可以用一串短直线段来逼近，而每一条直线段均由两点所决定，这样，二维平面图形不论是由直线段组成，还是由曲线段组成，都可以用它的轮廓线上顺序排列的平面点集来描述。因此可以说，对图形作几何变换，其实质是对点的几何变换，通过讨论点的几何变换，就可以理解图形几何变换的原理。 例如，如果要对下图中的四边形ABCD进行平移变换，只需要对四个顶点A、B、C、D做平移变换，连接平移后的四个顶点即可得到四边形平移变换的结果。 对二维图形进行几何变换有五种基本变换形式，它们是：平移、旋转、比例、对称和错切，这些图形变换的规则可以用函数来表示。有两种不同的变换形式：一种是图形不动，而坐标系变动，即变换前与变换后的图形是针对不同坐标而言的，称之为坐标模式变换；另一种是坐标系不动，而图形改变，即变换前与变换后的坐标值是针对同一坐标系而言的，称之为图形模式变换。实际应用中，后一种图形变换更有实际意义，下面讨论的图形变换是属于后一种变换。 5.1.2平移变换 平移变换是指将图形从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位变换。已知一点的原始坐标是P(x,y），加上一个沿X，Y方向的平移量tx 和ty ，平移此点到新坐标（x﹢tx,y﹢ty）,则新坐标的表达式为： 如果对一图形的每个点都进行上述变换，即可得到该图形的平移变换。实际上，线段是通过对其两端点进行平移变换，多边形的平移是平移每个顶点的坐标位置，曲线可以通过平移定义曲线的坐标点位置，用平移过的坐标点重构曲线路径来实现。 平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。下图是一平移变换的例子。 可以用矩阵形式来表示二维平移变换方程。图形变换通常使用齐次坐标矩阵来表示。平移变换方程的齐次坐标矩阵表示式为： 其中 称为变换矩阵。 有了上面的矩阵表示，连续的平移变换可以通过连续的矩阵乘法来实现。例如, 点经平移变换T1（tx1,ty1）后，再经平移变换T2（tx2,ty2），那么，最终的平移变换矩阵。 5.1.3 比例变换 一个图形中的坐标点P(x,y）若在X轴方向变化一个比例系数sx，在Y轴方向变化一个比例系数sy，则新坐标点P(x,y）的表达式为： 这一变换称为相对于坐标原点的比例变换, sx 和sy分别表示点P(x,y）沿X轴方向和Y轴方向相对坐标原点的比例变换系数。比例变换改变图形的大小。 变换方程写成齐次坐标矩阵形式为： 其中变换矩阵： 比例变换系数sx和sy可赋予任何正数值。当值小于1时缩小图形，值大于1则放大图形。当sx和sy被赋予相同值时，就产生保持图形相对比例一致的变换, sx和sy值不等时产生X轴方向和Y轴方向大小不等的比例变换。sx和sy都指定为1时，图形大小不改变。 实际上，相对于坐标原点图形的比例变换，相当于每一点相对于坐标原点的变换，因此，它不但改变图形的大小，而且改变图形的位置。 下图是一图形比例变换的例子： 中心在原点的放大变换 中心不在原点的放大变换 可以通过选择一个在变换后不改变位置的固定点Pc(xc,yc),来控制图形变换的位置。例对于多边形图形，固定点的坐标(xc,yc)可以选择图形的某个顶点、图形几何中心点或任何其它位置，这样变换后固定点坐标不改变，多边形每个顶点相对于固定点缩放。对于坐标为P(x,y)的顶点，相对于固定点Pc(xc,yc)变换后的坐标P(x,y)可计算为： 写成齐次坐标矩阵形式为： 其中变换矩阵： 计算公式的推导可以这样考虑，先平移坐标原点（0,0）到（xc,yc），然后进行比例变换，变换后再将坐标原点移回到（0,0）。三个过程的结果就是相对于点（xc,yc）的比例变换。三个过程的变换矩阵分别是： 5.1.4 旋转变换 若图形中的坐标点P(x,y)绕坐标原点逆时针旋转一个角度θ, 则新坐标点P(x’,y’）的表达式为： 公式的推导可参考右图 变换方程