几何证明选讲(2011-2015全国卷文科).doc

几何证明选讲（2011-2015全国卷文科） （一）新课标卷 1.（2011.全国新课标22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根． （I）证明：C，B，D，E四点共圆； （II）若，且求C，B，D，E所在圆的半径． （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若，证明：(Ⅰ)CD=BC； △BCD∽△GBD （二）全国Ⅰ卷 1.（2013.全国1卷22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。 （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC= ，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。 2.（2014.全国1卷22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲 如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且. （I）证明：； （II）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形. 3.（2015.全国1卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图AB是直径，AC是切线，BC交与点E. （I）若D为AC中点，证明：DE是切线； （II）若 ，求的大小. （三）全国Ⅱ卷 1.（2013.全国2卷22）(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AFB，E，F，C四点共圆．CA是ABC外接圆的直径．过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值 2.（2014.全国2卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明: （I）BE=EC； （II）AD·DE=2PB2。 3.（2015.全国2卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点. （I）证明； （II）若AG等于圆O半径,且 ,求四边形EDCF的面积. 解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC， 即.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C，B，D，E四点共圆。 （Ⅱ）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12. 故 AD=2，AB=12. 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH. 由于∠A=900，故GH∥AB， HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5. 故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 (Ⅰ) 由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由已知得，CBE=E , 所以D=E? ……………5分 （Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=MC?,知MN⊥BC? 所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD， 即MN⊥AD，所以AD//BC,故A=CBE， 又CBE=E，故A=E???由(Ⅰ)（1）知D=E， 所以△ADE为等边三角形． ……………10分 3.（2015.全国1卷22） 解：（I）连接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB. 在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连结OE，则∠OBE=∠OEB. 又∠OED+∠ABC=，所以∠DEC+∠OEB=，故∠OED=，DE是O的切线. ……5分