圆和点的位置关系.doc

1. 直线与圆的位置关系： 设直线为l，圆的半径为R，圆心为O，O点到直线l的距离为d，那么有： 直线l与圆O相交d＜R直线与圆有两个公共点。 直线l与圆O相切d＝R直线与圆有一个公共点。 直线l与圆O相离d＞R直线与圆没有公共点。 2. 圆的切线的判定： （1）利用定义：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 （2）利用数量关系：和圆心的距离等于半径的直线。 （3）利用位置关系：过圆的半径的外端且和这条半径垂直的直线。 3. 圆的切线的性质： （1）圆的切线和圆只有唯一的一个公共点； （2）圆的切线和圆心的距离等于半径； （3）圆的切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心，且垂直于切线的直线必经过切点； （5）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4. 切线长定理：过圆O外点P，有且仅有两条切线，并且切线长相等，OP平分这两条切线所夹的角。 应用：圆外切四边形对边的和相等，反之，对边和相等的四边形一定有内切圆。 5. 弦切角度数定理： 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 推论： 弦切角等于同弧所对的圆周角。 同弧（或等弧）上的弦切角相等。 6. 圆幂定理： 相交弦定理、割线定理和切割线定理统称圆幂定理。 （1）相交弦定理：圆的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图，P为弦AB、CD的内分点，结论： （2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线（与圆交点的距离）的积相等。 如图，P为弦AB、CD的外分点，结论： （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 如图，PT是圆的切线，且AB延长交TP于点P，则 （4）其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分（或外分）成的两条线段长的积为定值（该点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值）。 我们把称为点P关于圆的幂，因此相交弦定理、割线定理和切割线定理总称为圆幂定理。 能力提升类 例1 如图，已知：⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA＝6cm，AB＝8cm，PO＝10.9cm。求⊙O的半径。 一点通：此题要通过计算得到⊙O的半径，必须使半径进入一个数量关系式，观察图形，可知只要延长PO与圆交于另一点，则可产生割线定理，而其中一条割线恰好经过圆心，在线段中自然可以参与进半径，从而由等式中求出半径。必须清楚这种数学思想方法，结合图形，正确使用和圆有关的比例线段，则关系式中必有两条线段是半径的代数式构成，只要解关于半径的一元二次方程即可。 解：设⊙O的半径为r，PO和它的延长线交⊙O于C、D。 （10.9－r）（10.9＋r）＝6×14 r＝5.9（负值舍去） 答：⊙O的半径为5.9。 点评：切割线定理及割线定理：它是圆的重要比例线段，它反映的是圆的切线和割线所产生的数量关系。需要指出的是，只有从圆外一点，才可能产生切割线定理或割线定理。切割线定理是指一条切线和一条割线；割线定理是指两条割线，只有使学生弄清前提，才能正确运用定理。 例2 如图，PA切⊙O于A，PFE交⊙O于F、E，AC平分∠EAF，交PE于C，PB平分∠APE，分别交AE、AF于B、D。求证：四边形ABCD为菱形。 一点通：可考虑证明其对角线互相垂直且平分。 证明：如图， ∵PA切⊙O于A， ∴∠3＝∠E 。 ∵AC平分∠EAF， ∴∠2＝∠1 。 ∴∠2＋∠3＝∠E＋∠1 。 ∵∠ACP＝∠E＋∠1， ∴∠PAC＝∠PCA。 ∴PA＝PC。 ∵PB平分∠APE， ∴∠4＝∠5。 ∴PB垂直平分AC。 ∴AC垂直平分DB。 ∴四边形ABCD为菱形。 综合运用类 例3 如图，MN是⊙O的弦，D是NM的延长线上一点，AD交⊙O于C，MN交BC于G，直径AB⊥MN于E。求证：EM2＝ED·EG。 一点通：由于EM、ED、EG三线段在同一直线上，要证EM2＝ED·EG，则一定要找中间比或中间积来过渡。考虑到题中条件EM2＝EB·EA，故需证EB·EA＝ED·EG，为此需证Rt△AED∽Rt△GEB。 证明：连结AM、MB。 ∵AB、MN是⊙O的弦，且AB与MN交于点E， ∴ME·EN＝AE·EB 又∵AB⊥MN ∴EM＝EN。 ∴EM2＝EB·EA。 ∵AB是⊙O的直径 ∵∠ACB＝90°，∠CGD＝∠EGB， ∴∠CDG＝∠GBE。 ∴Rt△AED∽Rt△GEB。 ∴ 即EB·EA＝ED·EG， ∴EM2＝ED·EG。 点评：在圆中要证明比例线段或线段积时等通常需要找中间比或中间积来过渡。 例4 如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆相交于一点P，延长AP交BC于N。求的值。 一点通：连结CP