惠州学院复变函数与积分变换复习.doc

复变函数与积分变换复习 一、考试的目的和性质 本课程是高等学校工科本科特别是自动控制、自动化、信号处理等专业的基础课。通过本课程的学习,使初步学生掌握复变函数与积分变换的理论和方法，为学习有关后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。 二、考试的内容和范围 考试内容: 复数与复变函数、解析函数、复积分、复变函数的级数理论、留数、共形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换 考试范围: 一 知识点 1第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。 2 第二章主要掌握函数的解析性，会判断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。 3 第三章掌握复变函数积分的计算，掌握柯西积分公式，高阶导数公式及解析函数的性质。 4 第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。 5 第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。 6 第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，了解利用留数计算三类实积分。 7第七章掌握傅里叶变换及其逆变换的计算，掌握卷积的概念并能运用卷积定理。 8 第八章掌握拉普拉斯变换及其逆变换的计算，掌握卷积的概念并能运用卷积定理；掌握常系数线 性微分方程（组）的拉氏变换解法。 三、考试的形式和方法 试题比例：基本概念10％左右，计算技能90％左右。 (一)复数的概念 1.复数的概念：，是实数, .. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1）模：； 2）幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是位于中的幅角。 3）与之间的关系如下： 当 ； 当； 4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：，其中。 (二) 复数的运算 1.加减法：若，则 2.乘除法： 1）若，则 ； 。 2）若, 则 ； 3.乘幂与方根 若，则。 若，则 （有个相异的值） 4. 例题及其答案 计算下例各题. 1． ；2． ；3. ; 简答1．解：原式= 2．解：原式； 3．解：原式=. （三）复变函数 1．复变函数：，在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射. 2．复初等函数 1）指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。 注：是以为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 对数函数： （多值函数）； 主值：。（单值函数） 的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且； 注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：； 注：在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且。 4）三角函数： 在平面内解析，且 注：有界性不再成立；（与实函数不同） 双曲函数 ； 奇函数，是偶函数。在平面内解析，且。 （四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：=； 2）区域可导： 在区域内点点可导。 2．解析函数的概念 1）点解析： 在及其的邻域内可导，称在点解析； 2）区域解析： 在区域内每一点解析，称在区域内解析； 3）若在点不解析，称为的奇点； 3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件 1．函数可导的充要条件：在可导 和在可微，且在 处满足条件： 此时， 有。 2．函数解析的充要条件：在区域内解析 和在在内可微，且满足条件：； 此时。 注： 若在区域具有一阶连续偏导数，则在区域内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时，函数一定是可导或解析的。 3．函数可导与解析的判别方法 1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1） 2）利用充要条件 （函数以形式给出，如第二章习题2） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数是以的形式给出，如第二章习题3） 4. 例题及其答案 解：原式（3分）= （六）复变函数积分的概念与性质 复变函数积分的概念：，是光滑曲线。 注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 复变函数积分的性质 （与的方向相反）； 是常数； 3） 若曲线由与连接而成，则。 3．复变函数积分的一般计算法 1）化为线积分：；（常用于理论证明） 2）参数方法：设曲线： ，其中对应曲线的起点，对应曲线的终点，则 。 （七）关于复变函数积分的重要定理与结论 1．柯西—古萨基本定理：设在单连域内解析，为内任一闭曲线，则 2．复合闭路定理： 设在多连域内解析，为内任意一条简单闭曲线，是内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以为边界的区域全含于内，则 ① 其中与均取正向； ② ，其中由及所组成的复合闭路。 3．闭路变形原理 ： 一个在区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因在内作连续变形而改变它的值，只要