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《系统动力学》 超声珩磨摩擦型颤振 非线性振动方程的数值分析 学 院： 机械与动力工程学院 专 业： 工程 班 级： Y150201 姓 名： 柳伟华 学 号： S1502004 2016年月 由连续弹性体的振动理论得到工件弹性子系统与挠性杆—油石座工具弹性子系统的振动方程如下： 模态坐标的振动方程可表示为 以上就是由非线性动态珩磨力相耦合的工件弹性子系统和挠性杆—油石工具弹性子系统组成超声珩磨摩擦型颤振系统的多自由度自激振动方程。 4.应用 Runge—Kutta 法对无量纲化后的非线性振动方程进行数值分析 Runge—Kutta 方法是一种在工程上应用广泛地高精度单步数值算法。 Runge—K utta方法不是用求导数的办法，而是用计算不同点上函数f(t,y)的值，然后对这些函数值作线性组合，构造近似公式，再将近似公式和解y(t)的Taylor展开相比较，使得前面的若干项相吻合，从而使近似公式达到一定的阶数。 在MATLAB里要利用数值求解常微分方程，必须首先将高阶方程转化为一阶常微分方程组，然后才能调用相应的求解函数。大致可分为三个步骤：1 )将高阶方程转化为一阶方程组；2)建立相应的函数文件；3)调用求解函数。 数值模拟实验结果如下图： (1)工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统发生1:2内共振： 调用求解： H=[0 20]; z0=[0;0.01;0;0.001;0;0.02;0;0.002]; [t,z]=ode45(f,H,z0); 于是，分别得到工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的时间历程曲线如图所示： 图1 工件弹性子系统分别取第一、第二阶模态时的时间历程曲线 图2 挠性杆—油石座工具弹性子系统分别取第一、第二阶模态的时间历程曲线 如上图可知，工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子振动系统发生1:2内共振时，工件弹性子系统与挠性杆—油石座工具弹性子系统均是作恒幅恒频的周期振动，并且工件弹性子系统的振动周期是油石弹性子系统的2倍。并且工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的第一阶、第二阶模态的时间历程曲线均接近于简谐函数，又由于工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的振动为自激振动，所以它们的这种自激振动是拟谐自振。由于，拟谐自振是弱非线性自治方程的齐次周期解，此类方程含有小参数，能保证摄动解的收敛性，也保证平均法计算结果的精度。 工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的第二阶模态的振幅与第一阶模态的振幅均小很多，所以可以得出，在工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的振动中，第一阶模态起主要作用，第二阶模态可以忽略不计。 工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统发生1:4内共振： 图3 工件弹性子系统分别取第一、第二阶模态时的时间历程曲线 图4 挠性杆—油石座弹性子系统分别取第一、第二阶模态的时间历程曲线 工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的固有频率之比为 1:4 时，工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具子系统之间的动态特性相互影响较小，而且挠性杆—油石座工具弹性子系统的振幅也明显减小了。同时挠性杆—油石座工具弹性子系统的振幅也在随着时间的增长而缓慢增大，不再是一个恒幅的运动。 由图看出，在工件弹性子系统和挠性杆—油石座弹性子系统中，第二阶模态与第一阶模态相比影响很小，可以忽略其影响，在近似求解时，可以只取工件弹性子系统与挠性杆—油石座弹性子系统的第一阶模态。 工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的固有频率之比为 1:4 时，工件弹性子系统与挠性杆—油石座工具弹性子系统的相轨迹均为相平面内的孤立的封闭曲线，即都是极限环。并且工件和油石弹性子系统取前两阶模态的极限环与只取第一阶的模态的极限环几乎重叠，所以可知第二阶模态的影响很小， 可以忽略掉。 5.总结 本文介绍了功率超声珩磨和超声珩磨过程中颤振的研究现状，发现颤振对功率超声珩磨的加工效率有一定的影响，对颤振的机理进了研究。在研究过程中，遇到求解高阶常微分方程的问题，因此运用matlab软件对求解精度最高的龙格库塔方法进行了数值求解。结果发现工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的第二阶模态对颤振系统动态特性的影响很小，在实际分析中可以忽略不计；当工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的固有频率之比为