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文科立体几何---------平行与垂直关系的判定 空间中的平行关系 一．课标要求： 1．平面的基本性质与推论 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行◆垂直于同一个平面的两条直线平行能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题平面平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） 平面的画法：通常画平行四边形来表示平面平面的表示：用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC公理：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内A,B,A,B 公理：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面推论一经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面推论二经过两条相交直线,有且只有一个平面推论三经过两条平行直线,有且只有一个平面相交直线和平行直线也称为共面直线异面直线的画法常用的有种 （2）平行直线： 在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 （3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：与a是异面直线。 4．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，。 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：． 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：． 5．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点） （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。 定理的模式： 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。 推论模式： （2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 空间中的垂直关系 。 一．课标要求： 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： 注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直记作：⊥α