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浅谈微积分在高中数学中的应用 房山教师进修学校 卢寒芳 关键词：导数；函数；方程；定积分；面积 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．《普通高中数学课程标准》（以下简称《课标》）对微积分教学内容进行了改革．《课标》和过去的高中数学教学大纲相比，一大特点是将一元函数微积分的部分内容拿到高中教材中，让中学生初步了解微积分的思想，为高等数学的学习打下基础．那么，微积分在高中数学中有哪些应用？本文将举例说明微积分在判定函数的单调性、极值，讨论方程的根，证明不等式和恒等式，求切线方程、作函数图象、求平面区域的面积等方面的应用． 一、导数在高中数学中的应用 《课标》中对微积分的教学内容明确提出：“导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．要求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”． 1．导数在函数单调性问题上的应用 函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识．用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷． 例 (2009年广东卷文)函数的单调递增区间是 （ ） A. B.(0,3) C.(1,4) D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 分析 ：对函数求导，求不等式和的解，则的解为单调增区间． 解： 令，得， 所以的单调增区间为，故选D． 2．导数在函数的极值问题上的应用 利用导数求极值可分为三步： 1：求导数； 2：求方程的根； 3：检验在方程的根的左右两边的符号，确定极值． 例 求函数，的极值，最值． 解：因为，令， 得． 又因为 由表中可知，为函数的极小值点，． 当时，，所以在区间上最大值为，最小值为. 在高考中，关于函数极值问题比较常见的题型是已知函数的极值确定字母的取值范围或值． 例 （2008四川卷理）已知是函数的一个极值点，求． 解：因为，所以，因此． 3．导数在方程解的问题上的应用 (1) 利用导数判定单调性，可研究方程根的个数问题. 例 若，则方程在上有多少根？ 解：设，则， 当且时，， 故在上单调递减，而在与处都连续，且 ， 故 在上只有一个根． (2) 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）． 例 求方程的近似解． 解 设，，可以知道方程的唯一根在开区间(1，2)之中，取x０＝2，牛顿法的迭代公式为 xn+1＝xn－＝xn－＝ ， 则 x１＝＝1.77185 x２＝＝1.76324 x３＝＝1.76323 因此给定一个精确度，我们就可以求出该方程的近似解． 4．用导数证明不等式 利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点．其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式． 例 当时，证明不等式成立． 证明：设，则． ∵∴ ∴在内单调递减，而， ∴， 故当时，成立． 一般地，证明，可以构造函数， 如果，则在上是减函数，同时若，由减函数的定义可知，时，有，即证明了． 例 （2007年安徽高考试题）设，．求证：当时，恒有． 分析：此题要证明的不等式是由已知函数变形而来．所以证明此不等式，我们无需构造新的函数，只需要通过研究已知函数的单调性，就可以使结论获证． 解：对求导得：，， 故，， 于是，，所以，当时，． 因为，所以的极小值． 不难求得，对一切，恒有． 从而当时，恒有，故在内单调增加． 所以当时，，即． 故当时，恒有． 5．用微积分知识证明恒等式 用微积分知识证明恒等式的实质是将等式问题转化成函数问题，进而求导证明恒等关系，依据． 例 证明 ． 证 设 ， ． 则 ， ． 故 ． 又时，．从而 ，因此．原题得证． 6．导数在曲线的切线问题上的应用 导数的几何意义：如果函数的导数存在，则的函数在处的导数即为该函数在点（，）切线的斜率．利用这个我们可以求出曲线的切线方程． 例（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 ． 解析：因为，在点（0,1）处斜率斜率为k＝＝3，所以切线方程为y－1＝3x，即． 例（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________. 解析：本小题考查导数的几何意义、切线的求法．由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以 ． 这些题目都考查导数的几何意义，在填空题中也是一种典型题型，不容忽