《添加辅助线的方法.docVIP

添加辅助线的方法 添加辅助线的方法（一） 从图形考虑1， 在三角形中，已知一条中线，常把延长一倍构成全等三角形或平行四边形，或把一边延长一倍造中位线，或取另一边的中点作成中位线。2， 在三角形中，若已知两条或三条中线时，则常连结两个中点作成中位线或延长某一中线到它的三分之一处，使之与重心、两个顶点构成平行四边形。3， 在等腰三角形中。常引底边上的高或顶角的平分线；在直角三角形中，则常引斜边上的中线或高。4， 在梯形中，常过顶点作高或与腰平行的线段；若已知各边中点，则作中位线。5， 在圆中，常作直径所对的圆周角，垂直于弦的半径（或直径）。过切点的半径；若两圆相切，则常作它的公切线和连心线；此外，还可根据共圆条件作一些辅助圆。（二） 从要证的结论考虑1， 要证线段的和、差、倍、分或比较大小时，常用延长或截取方法进行等量代换。2， 要证线段、角相等时，常找全等形进行等量代换。3， 要证四条线段成比例时，常作平行线找相似形。4， 要证面积相等时，常平移变换找等积形。（三） 从添辅助线的作用考虑1， 作平行线有利于造成线段、角相等，有利于造成相似形、平行四边形、全等形、等积形。2， 作垂线有利于造成平行线、直角三角形。3， 作圆有关线段和角，有利于用圆的有关性质和有关定理。如何添加辅助线，归纳的方法是很多的，还可用如下的口诀加以记忆；辅助线如何添，找出规律凭经验。题中有角平分线，可向两边作垂线。线段垂直平分线，可与两端把线连。三角形中两中点，连结则成中位线。 三角形中有中线，则把中线一倍延。成比例，证相似，通常要作平行线。作线原则有一条，证题线段别割断圆外若有一切线，切点圆心把线连。如果两圆内外切，经过切点作切线。两圆相交于两点，一般要作公共弦。是直径、成半圆，想作直角把线连。作等角，添个圆，证明题目少困难。辅助线是虚线，画图注意莫改变。辅助线的添法灵活多变，归纳只是一种形式，要灵活掌握，灵活运用。这里只是介绍了常规的一些辅助线的作法，具体问题要具体分析，要多在实际问题中去操练，才能形成自己的能力。 梯形添加辅助线常用方法例析 梯形作为特殊的四边形，在求解时常常需要转化为三角形或平行四边形等来解决。于是，梯形添加辅助线的方法就成为同学们学习时的一个难点。为此，笔者根据教学中的经验，归纳总结了一个梯形添加辅助线方法的口诀，这里介绍给大家并举例说明之。 梯形问题中，转化很重要， 平移对角线，平移梯形腰， 作出梯形高，延长两腰来相交， 中位线要想到，一腰中点等积变。 例1. 如图1，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AC＝BD，求证：AB＝CD 图1 证明：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E。因为DE//AC，所以。又因为AD//BC，所以四边形ACED为平行四边形，所以AC＝DE，又因为AC＝BD，所以BD＝DE，所以，所以 在和中 所以 所以AB＝DC 例2. 如图2，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，求证： 图2 证明：过点D作DE//AB，交BC于一点E，因为AB//DE，所以。又因为AD//BC，所以四边形ABED为平行四边形，所以AB＝DE，又因为AB＝DC，所以DE＝DC，所以，所以 例3. 如图3，在梯形ABCD中，，，AD//BC，AD＝3，DC＝6，求梯形的面积S。 图3 解：过点A、D分别作，，垂足分别为E、F 在中，因为，所以 所以， 在中，因为，所以AE＝BE，因为AD//BC，，，所以四边形AEFD为矩形，所以，所以，所以 例4. 已知，如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，求证：梯形ABCD为轴对称图形。 图4 证明：延长BA、CD交于点E，过点E作，交BC于G，交AD于F，因为，所以。又因为AD//BC，所以，因为，所以，即EG垂直平分AD、BC。又因为，，所以梯形ABCD关于EG对称，所以梯形ABCD为轴对称图形。 例5. 如图5，已知梯形ABCD中，AD//BC，E为AB的中点，且，求证： 图5 证明：取CD中点M，连结EM，因为EM为梯形ABCD的中位线 所以 又因为，所以 所以为，所以 例6. 如图6，已知在梯形ABCD中，AD//BC，M、N为腰AB、DC的中点，求证：（1）MN//BC；（2） 图6 证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E，因为， 所以 所以， 又 所以MN是的中位线，所以MN//BC， 因为 所以 平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证实题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证实题，往往束手无策。 定义：为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。 ??????