《特征值.docVIP

电子教案 目 录 特征值 2 一、基本要求 2 二、内容提要 2 1. 特征值与特征向量 2 2. 特征向量的性质 2 3. 特征多项式 2 4. 特征值与特征向量的求法 3 5. 相似矩阵 3 6. 矩阵A与对角形矩阵相似（称为A可对角化）的条件 3 7. 若n阶矩阵A的特征值全是的单根, 则A可对角化. 3 8. 矩阵对角化的步骤 3 三、典型例题 4 （一）特征值与特征向量 4 （二）矩阵的相似 13 特征值 一、基本要求 1. 理解矩阵的特征值、特征向量的概念并掌握其求法； 2. 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充要条件 , 会化矩阵为相似对角形 . 二、内容提要 1. 特征值与特征向量 设A为n阶方阵, a为n维非零列向量, l为一个数, 使得 Aa = la 则称l为A的一个特征值, a为A对应于l的一个特征向量. 2. 特征向量的性质 （1）对应于不同特征值的特征向量是线性无关的； （2）同一特征值的特征向量的任意非零线性组合 仍然是对应于的特征向量. 3. 特征多项式 其中, 是A的全部特征值. 4. 特征值与特征向量的求法 （1）求的相异根； （2）分别求的基础解系, 则非零线性组合 是A对应于的全部特征向量. 5. 相似矩阵 对于n阶矩阵A、B, 如果存在可逆矩阵P, 使得 则称A与B相似, 记为A～B. 6. 矩阵A与对角形矩阵相似（称为A可对角化）的条件 n阶矩阵A可对角化 ? A有n个线性无关的特征向量, ? 对于A的每一个ki重特征值, ? 对于A的每一个ki重特征值的基础解系由个解向量组成. 7. 若n阶矩阵A的特征值全是的单根, 则A可对角化. 8. 矩阵对角化的步骤 （1）求A的全部特征值； （2）对每个不同的求的基础解系； （3）以A的n个线性无关的特征向量为列向量构成可逆矩阵 则 其中, 的排列顺序与一致. 三、典型例题 （一）特征值与特征向量 例1 如果任意非零n维列向量都是n阶矩阵A的特征向量, 试证A是数量矩阵（即主对角线元素相同的对角形矩阵）. 证 设 又设 是A对应于特征值的特征向量, 则由可得： 同理可证： 再设 是A对应于特征值l的特征向量, 则由Aa = la可得： 故A为数量矩阵. 例2 已知可逆矩阵A的特征值与特征向量, 求与的特征值与特征向量. 解 设l是A的特征值, a是A对应于l的特征向量, 则由A可逆且可知 Aa = la 1 0 于是. 且 (la) 即 l, a 故是的特征值, a是的特征向量. 又, , 所以, a 即, 是的特征值, a是的特征向量. 例3 设A是正交矩阵且, 证明：是A的一个特征值. 证 所以, , 即, 是A的一个特征值. 要证明是矩阵A的特征值, 可以设法证明存在列向量a, 使Aa =a, 也可以设法证明是A的特征多项式的根. 同样, 要证明a是A对应于特征值的特征向量, 也可以设法证明Aa =a或a是齐次线性方程组的解向量. 例4 设l是矩阵A的特征值, f (x)是x的多项式, 试证：f (l)是f (A)的特征值. 证 首先证明若l是A的特征值, 则是的特征值. 由Aa =a可得(a)=(Aa)=a 设a = a, 则 a = A(a) = A(a) = (Aa) =(la) =a 其次, 设 = aa＋a a a 所以, 是的特征值. 例5 设三阶实对称矩阵A的特征值是1, 2, 3；A对应于特征值1、2的特征向量分别是 , （1）求A对应于特征值3的特征向量； （2）求矩阵A. 解 （1）设A对应于3的特征向量为 因为A是实对称矩阵, 故不同特征值的特征向量相互正交, 即有 其基础解系为, 故A对应于特征值3的特征向量为, ； （2）记, 则应有 于是 , 求得 将代入上式得 例6 求n阶方阵 的特征值. 解 A的特征多项式 所以, 重)与是A的特征值. 例7 设是矩阵A对应于不同特征值的特征向量, 且, 试证＋不是A