《特征向量新算法及总结.docVIP

目录 内容摘要................................................ ...............................2 二、求矩阵特征向量的一个新方法............................................2 三、推广 ......................................................................................4 3.1 根据定义求解特征值特征向量 ...................................... 4 3.2 格什戈林圆盘定理.............................................................5 3.3 幂法.....................................................................................7 3.4 反幂法.................................................................................8 3.5 列行互逆变换法 ...............................................................9 3.6 列初等变换法....................................................................11 四、算法及流程图.......................................................................12 五、程序.......................................................................................14 六、特征值与特征根应用...........................................................16 七、参考文献...............................................................................16 一、内容摘要 本文主要是针对特征值特征向量的解法的总结与创新。首先，给出 （1）一种矩阵乘法求求矩阵特征向量的一个新方法，详细证明。 然后又总结出以下算法： （2）根据定义求解特征值与特征向量，并举例 （3）圆盘定理，估计特征值特点及范围，并举例、图示 （4）幂法求解特征值特征向量，并举例、算法、程序 （5）反幂法求解特征值特征向量 最后提出两种新算法 （6）列行互逆变换法 （7）列初等变换法 关键字：特征值 特征向量 列行互逆变换法 列初等变换法 二、求矩阵特征向量的一个新方法 2.2 引理[1] （表示n阶复方阵集合），则可对角化的充要条件是对的每一个特征值。其中为的重数。 2.3 引理[2] 设若可对角化,则的最小多项式为 其中的所有互不相同的特征值。 2.4 定理 设为的所有互不相同的特征值. 若可对角化,则的列向量为矩阵对应于特征值的特征向量,且列向量组的极大无关组是特征向量空间的一个基。[1] 证明：因可对角化,由引理2 知,的最小多项式为，即。这表明的列向量为方程组的解向量。由引理1 知。因此齐次线性方程组的解空间维数为。 由此有。 另一方面,由Sylvester 不等式,可得下面一些详细证明步骤： 假设 则 且则。 。 这表明矩阵的列向量组的极大无关组所含向量个数为。因而极大线性无关组就是对应于特征值的特征向量空间的一个基。 例1 求矩阵的特征向量。 解：解矩阵的特征方程的特征值为。 由于为是对称矩阵，一定可对角化。因此的最小特征多项式为，因而有 和 则和对应的特征向量分别为 和 三、推广 3.1 根据定义求解特征值特征向量 例2：求的特征值与特征向量。 解： 所以特征值为-1和5，再将-1和5分别代入方程组中得到方程： 和， 并求得其基础解系分别为：和，则得出所对应的特征向量。 3.2 格什戈林圆盘定理[2] 3.2.1 设，则的每一个特征值必属于下述圆盘之中 或者说的特征值都在复平面上的个圆盘的并集中。 3.2.2 如果的个圆盘组成一个连通的并集与余下的个圆盘是分离的，则内恰包含的个特征值。 特别的，如果得一个圆盘是与其他圆盘分离的，则中精确包含的一个特征值。 大致内容可由上图表示