《函数性质的运用》案例分析.doc

《函数性质的运用》案例分析 一、相关背景介绍 建构主义理论告诉我们，学习是学生在原有认知经验基础上主动建构新知识的过程。这一建构过程实际上需要学生将原有知识与新知识进行有效组合与沟通。而学生知识、方法的迁移，水平、能力的提高均依赖于这个过程。从这个意义上说，数学学习实际上是指学生对数学现象的领悟和实质理解。抽象函数这部分内容，体现了数学的高度抽象性和简洁性，近几年高考几乎每年都有类似的题目。由于它的提干都是由抽象的数学符号给出，因此它对学生阅读理解数学语言和符号的能力要求很高。对学生的思维能力是一个大的挑战。 二、本节课教学目标 1 、知识与技能 使学生深刻理解函数的奇偶性、周期性、对称性等性质。掌握代数变换的方法。 学会阅读理解数学语言和符号，会综合运用函数性质解题。 2 、过程与方法 通过让学生经历阅读、理解、探索求解的过程，渗透化归转化的思想、数形结合的思想。寻求合理、有效的途径，解决数学问题。 3 、情感、态度、价值观 使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神。 4 、重点：综合运用函数性质解题 难点：对文字语言、符号语言、图形语言三种语言的理解和相互转换。 三、设计理念 1 、首先通过复习函数的性质导入，训练学生对数学的文字语言、符号语言和图形语言这三种语言的相互转换 2 、例 1 的设计的意图是： 加深学生对函数概念、性质的理解。教学生学会阅读、理解数学语言、符号；学会文字语言、图形语言、符号语言的相互转化。通过一题多解、一题多思，渗透化归转化和数形结合的思想，以及代数变换的方法，培养他们的思维能力。课堂形式是：分组讨论。 3 、例 2 的设计主要让学生独立思考解答 探求多种解法，思考、交流、表达，体现学生主体参与合作学习。 要求学生综合运用函数性质解题，提高他们抽象思维能力，问题延伸思考，主要针对较好学生，让他们课后继续钻研，提高分析问题、解决问题能力，也体现了分层教学的思想。 四、下面是课堂实录《函数性质的运用》 师：前面我们已经分别复习了函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性等。今天我们学习函数性质的综合运用。请先思考回答以下问题： 若函数 f 是奇函数，如何用符号表示？用图形表示？ 若给出图形 请用文字语言叙述它的对称性，用符号如何表示？ 若 f =f ，你能有何结论？如何用文字语言叙述，用符号表示？ 生 1 ： f =-f 生 2 ： 函数 f 关于 x=1 对称，即 f =f 生 3 ： f 是周期函数，周期为 T=2 ，示意图： 师：由 f =-f 你能说出什么信息？ 生： f 的周期是 T=4 师：为什么？能否用图象解释？ 生：将式中的 x 用 x+2 来替代，得到： f =-f 又因为 -f =f ，所以 f =f 即： T=4 但是不太用图像来解释 师：提示： 从图示看出 f =f 的周期为 4 。 总结：通过对函数的奇偶性、对称性、周期性等性质的复习，我们要熟悉数学的文字语言，符号语言，图形语言三种语言的转换。 好，下面我们来看例 1 例 1 ：设 f 是上的奇函数， f =-f ，当 0≤x≤1 时， f =x ，则 f =? 生 1 ：利用周期性 由 f =-f 可得到 f =f 所以 f =f=f=-0.5 生 2 ：直接利用 f =-f f=f=-f=-f[-f]=f=-f=f=-0.5 师：还有其他方法吗？ f 是奇函数且 f =-f ，除了能说出周期 T=4 外，还能说出哪些信息？ 生： f =-f =f 而 f =f 得到 f 关于直线 x=1 对称 师：很好，你能否根据函数的对称性、周期性及奇偶性，画出它的图象？从而利用图象来解题呢？ 生： 从图中可以看出 f =f=-0.5 师：我们在解题的过程中，应善于利用数形结合的思想方法，有时能收到意想不到的效果的。 师总结：方法一：主要要求对符号的深刻理解及获取信息 方法二：利用 f =-f ，通过转化达到解题的目的，渗透了转化的思想 方法三：利用函数的几何性质，通过作图，利用数形结合的思想来解题。 下面我们来将这道题目进行变化： 变化 1 ：已知条件不变，问题变为当 x [-1 ， 0] 时，求 f 的解析式 生 1 ：设 x [-1 ， 0] 则 -x [0 ， 1] f =-x ，又 f =-f ∴ f =x ∴ 当 x [-1 ， 0] 时， f =x 师：能否总结一下解题步骤？ 生 2 ：小结：首先要 “ 问啥设啥 ” ，不要把变量设错了区间； 第二，把变量转化到已知区间上去 最后，再利用函数的奇偶性、周期性求出 f 的解析式。 变化 2 ：当 -1≤x≤1 时， f 的解析式 生：由已知和