《球谐函数.doc

前言 这些讲义主要介绍了在任意维数下球谐函数的一般理论。这使得二维或三维的问题不再显得那么的突出，相反二维或三维的问题被认为是更高维数的特殊情况。介绍任意维数下的球谐函数可以更好的理解这些函数的基本性质，这些性质可以被认为是初等函数的基本性质的推广。G.Herglotz给出了著名的球谐函数加法定理的证明，证明的过程与球所在的坐标系无关，因此避免了坐标系奇点难以表示的困难。 这些讲义仅从球的对称性尽可能多的推导出一些结论，并证明了球谐函数的基本性质，包括加法定理、生成函数的表示以及球谐函数的完备性。 球谐函数的理论最早是由波音科学研究实验室提出来的，后来又做了一些轻微的修改。 感谢Theodore Higgins博士在我准备这些讲义的过程中所给予的帮助，感谢Ernest Roetman博士在我改进原稿的过程中提出的一些宝贵的意见和建议。 Claus Müller 1966年2月 目录 一般背景及注示 正交变换 加法定理 表示定理 加法定理的应用 Rodrigues公式 Funk-Hecke公式 球谐函数的积分表示 连带勒让德函数 勒让德函数的性质 微分方程 球谐函数的拓展 参考文献 基本背景和记号： 令是q维欧几里得空间的一组笛卡尔坐标，这时我们有 。 表达式 这里 1) 表示的是q维单位球面上的笛卡尔系的点，记为，它的曲面元素为，其全部曲面为，是由表示出来的。 由定义我们设，接着我们有。 如果向量可以构成一个正交系，我们可以用 1 来表示上的点,而是由张成的空间的单位向量。 这时单位球面上的曲线元素可以写成 我们由上面可以得到 上面积分式子的右边可以转化为 ，当q=2,3,…。 2 记 3 为拉普拉斯算子，这时我们引入 定义1:令为q维的n次齐次多项式，同时满足 这时称为q维的n次（规则）球面调和函数。 由此我们马上可以得到： 引理1: 令和是两个次数分别为n和m的齐次调和多项式，由格林定理我们可以得到 ， 同样地，在上和的法向导数分别为 因此由定义（1）我们可以得到 引理2:对于m≠n时，有，任何q维的齐次多项式可以由下面式子代替 （4） 其中是在点的阶齐次多项式，应用拉普拉斯算子的形式 得到 （5） 由系数相等我们的得到：，因此，若已知和，则所有的多项式都可以知道，且线性无关的齐次调和多项式的数量与和的系数的数量相等。定义为关于的阶齐次多项式的系数的个数，则有如下形式： （6） 显然，因此，和的系数的数量满足: (7) 幂级数 （8） 当时收敛。由（6）和（7）得： （9） 现在由（7）得： ， 因此，将（9）式代入（8）式中，交换和的秩序，得: ，所以。 由此我们得到以下引理： 引理3 n阶线性无关的球面调和函数的数量由以下幂级数 决定，特别地当时有 （10） 。 由引理3我们可以很精确地得到，当时，由二项式展开可得 因此 （11） 如果我们设 （12） 我们得到 引理4：在维空间存在的线性无关次数为的球谐而且每个无关次数为的球谐可以被看成的一个线性组合。 正交变换： 现在假设函数构成一个正交集，即 （13） 如果是一个正交矩阵，而是一个次数为的球谐多项式，在上如果具有这种属性，以至于是一个次球谐波。特别地， （14） 因此，对于每一个正交矩阵对应于一个矩阵